Calcul de l'intégrale de surface pour les parties planes

Pour calculer l'intégrale sur $\Sigma_p$ nous utilisons une méthode analytique. Nous tirons profit du fait que dans ce cas particulier la normale est constante sur chaque triangle. Pour obtenir la valeur de $\mathcal{I}$ au point $x\in {\Bbb R}^3$, il suffit de calculer pour chaque triangle K de la triangulation appartenant à $\Sigma_p$, l'intégrale

$${\cal I}_K(x) = \int\!\!\!\int_{K} \frac{\ensuremath{\mathbf... ...K} \frac{x - y}{\vert x - y\vert^\frac{3}{2}} \mbox{ d}s (y) .$$ (7)

Désignons par Q₁,Q₂,Q₃ les sommets du triangle K. On note Q₀ la projection du point P sur le plan défini par K. Nous introduisons les triangles K₁, K₂ et K₃, (voir la Figure 1), de sommets respectifs $\left \{ Q_0, Q_2, Q_3 \right\}, \left \{ Q_0, Q_3, Q_1 \right\}$et $\left \{ Q_0, Q_1, Q_2 \right\}$ . Nous décomposons alors l'intégrale sur K en la somme de trois intégrales sur les triangles K₁, K₂ et K₃

$$\int\!\!\!\int_{K} {\ensuremath{\mathbf{r}}\over r^3} \mbox{ ... ...!\!\int_{K_3} {\ensuremath{\mathbf{r}}\over r^3} \mbox{ d}s ,$$

où $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ sont les coordonnées barycentriques de Q₀ relativement au triangle K.

  

Figure 1: décomposition du triangle K.

Intéressons-nous au calcul de l'intégrale sur le triangle K_k de sommets $\{Q_0,Q_i,Q_j\}$ où $k\in \left\{1, 2, 3 \right\}$ et $i,j \in\left\{1, 2, 3 \right\}$, $i \neq j$. Nous introduisons un nouveau repère ${\cal R}_k$ associé au triangle K_ken prenant pour origine Q₀ et pour vecteurs de la base orthonormée

$$\ensuremath{\mathbf{x}} = \frac{\ensuremath{\mathbf{Q_0 Q_i}}... ...{y}} = \ensuremath{\mathbf{z}}\wedge \ensuremath{\mathbf{x}} .$$

  

Figure 2: nouveau système de coordonnées.

Dans ce nouveau repère les sommets ont pour coordonnées

$$\left\{ \begin{array}{cccl} Q_0 &=& (0,0) &\\ Q_i &=& (x_i,0... ...j,y_j) &\mbox{\ avec \ } y_j \geq 0\ .\\ \end{array}\right .$$

Soit (x,y) les coordonnées du point générique Q dans le repère ${\cal R}_k$ et soit $h=\ensuremath{\mathbf{Q_0 P}}\cdot \ensuremath{\mathbf{z}}$. Nous avons $\ensuremath{\mathbf{r}} = \ensuremath{\mathbf{Q P}} = \ensuremath{\mathbf{Q Q_... ...remath{\mathbf{x}} - y\ \ensuremath{\mathbf{y}} + h\ \ensuremath{\mathbf{z}} .$Par conséquent les composantes de l'intégrale $$\ensuremath{\mathbf{R_k}} = \int\!\!\!\int_{K_k} {\ensuremath{\mathbf{r}}\over r^3} \mbox{ d}s$$dans le repère ${\cal R}_k$ sont

$$\int\!\!\!\int_{K_k} \frac{- x}{(x^2+y^2+h^2)^{3/2}}\ \mbox{ d}x \mbox{ d}y$$ R₁ =

$$\int\!\!\!\int_{K_k} \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+h^2}}\ \mbox{ d}x \mbox{ d}y ,$$ =

$$\int\!\!\!\int_{K_k} \frac{- y}{(x^2+y^2+h^2)^{3/2}}\ \mbox{ d}x \mbox{ d}y$$ R₂ = (8)

$$\int\!\!\!\int_{K_k} \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+h^2}}\ \mbox{ d}x \mbox{ d}y,$$ =

$$h \int\!\!\!\int_{K_k} \frac{1}{(x^2+y^2+h^2)^{3/2}}\ \mbox{ d}x \mbox{ d}y .$$ R₃ =

Le calcul de ces intégrales est effectué dans [Balac97]. Posons

$$\delta_1 = \frac{x_j}{y_j} , \quad \delta_2 = \frac{x_j - x_i}{y_j} , \quad \delta_3 - \frac{x_i y_j}{x_j - x_i} ,$$

et

$$t_j = \frac{a ( h^2 a - b y_j)}{b ( a y_j + b)} , \quad t_0 = \frac{a^2h^2}{b^2} .$$

Soit F la fonction des trois variables (a,b,u) définie par

$$\int {1 \over \sqrt{(a^2+1) u^2 + 2 a b u +b^2 + h^2}}\ \mbox{ d}u$$ F(a,b,u) =

$${1 \over \sqrt{a^2+1}} \ln \left\{ \sqrt{(a^2+1) u^2 + 2 a b u +b^2 + h^2} + \sqrt{a^2+1}\ u + {a b \over \sqrt{a^2+1}} \right\} .$$ =

Et soit G la fonction définie par

$$G(a,b) = h \int_0^{y_j} {a y + b \over (y^2 + h^2) \sqrt{(a^2 + 1) y^2 + 2 a b y + b^2 + h^2} } \mbox{ d}y .$$

En fonction des paramètres a et b qui sont liés à la forme du triangle nous distinguons six expressions différentes pour G. Introduisons la fonction ${\it Atg}$ est définie par

$${\it Atg}(t) = \arctan \left ( \frac {\sqrt {b^2+h^2 a^2}\ ... ...c{a^2}{b^2} \left (b^2 + h^2 + h^2 a^2 \right )}} . \right )$$

• Si $a b \neq 0$ nous avons:

  1.

  a > 0,
  

  $$G(a,b) = - \frac{h}{\vert h\vert} \left( Atg(t_j) - Atg(t_0) \right ) .$$

  
  

  2.

  a < 0 et $$y_j < - {b\over a}$$,
  

  $$G(a,b) = \frac{h}{\vert h\vert} \left( Atg(t_j) - Atg(t_0) \right ) .$$

  
  

  3.

  a < 0 et $$y_j > - {b\over a}$$,
  

  $$G(a,b) = - \frac{h}{\vert h\vert} \left ( Atg(t_j) + Atg(t_0) \right ) .$$

  
  

• Si a b = 0 nous avons :

  1.

  a = 0 et $b \neq 0$,
  

  $$G(a,b) = \frac{h}{\vert h\vert} \arctan \left ( \frac{b\ y_j}{\vert h\vert \sqrt{y_j^2+h^2+b^2}} \right ) .$$

  
  

  2.

  $a \neq 0$ et b = 0,
  

  $$G(a,b) = \frac{a h}{\vert a h\vert} \left ( \arctan \left ( ... ...- \arctan \left ( {1\over \vert a\vert} \right ) \right ) .$$

  
  

  3.

  a = 0 et b = 0,
  

  G(a,b) = 0 .

  
  

On a alors les expressions suivantes pour les composantes de l'intégrale $$\ensuremath{\mathbf{R_k}} = \int\!\!\!\int_{K_k} {\ensuremath{\mathbf{r}}\over r^3} \mbox{ d}s$$dans le repère ${\cal R}_k$,

 

$$F(\delta_2,x_i,y_j) - F(\delta_2,x_i,0) - F(\delta_1,0,y_j) + F(\delta_1,0,0) ,$$ R₁ =

$$F({1\over \delta_1},0,x_j) - F({1\over \delta_1},0,0) + F(0,0,0) + F({1\over \delta_2},\delta_3,x_i)$$ R₂ =

$$- F({1\over \delta_2},\delta_3,x_j) - F(0,0,x_i) ,$$

$$G(\delta_2,x_i) - G(\delta_1,0) .$$ R₃ =

On obtient alors $\mathcal{I}_k$ donnée par (7) en calculant ${\cal R}_k$pour k=1,2,3 par les formules (9), puis en sommant ces trois termes après avoir exprimé les vecteurs ${\cal R}_k$ dans la base d'origine.