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Ma thèse de doctorat a été préparée sous la direction de Thierry Gallay, au sein du thème « Physique Mathématique » de l'Institut Fourier (Grenoble I) et soutenue le 7 décembre 2007 devant Olivier Besson, Didier Bresch, Raphaël Danchin, Thierry Gallay, Dragoş Iftimie et Guy Métivier.
Elle s'intitule Comportement en temps long des fluides visqueux bidimensionnels et vous pouvez en lire la dissertation ou, pour le moins, la présentation succinte qui suit.
Les problèmes auxquels je me suis intéressé pendant ma thèse trouvent pour l'essentiel leur origine dans les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne sur les fluides visqueux bimensionnels, à densité constante.
Pour de tels fluides, ils ont, d'une part, obtenu une analyse complète du comportement asymptotique en temps long des écoulements de petite vitesse initiale et de vorticité suffisamment localisée, et, d'autre part, montré que tout écoulement, ayant une mesure finie comme vorticité initiale et de circulation à l'infini non nulle, converge vers un écoulement auto-similaire explicite, appelé tourbillon d'Oseen ou de Lamb-Oseen ou plus communément vortex.
La convergence, démontrée par Gallay et Wayne, de — presque — toute solution de l'équation de Navier-Stokes à densité constante vers un tourbillon d'Oseen, présente le défaut de ne pas être explicite.
De fait, on ne peut pas préciser cette convergence sans plus de localisation sur la vorticité. La première partie de ma thèse a consisté en l'obtention d'un temps explicite pour la convergence vers le tourbillon d'Oseen de toute solution de vorticité bien localisée en espace. Ce temps explicite fournit par ailleurs une majoration du temps de vie de la turbulence bidimensionnelle libre.
Dans cet article, paru aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse (2008), avec Thierry Gallay, nous regroupons cette borne, une discussion de cas plus favorables pour l'estimation du temps de convergence, ainsi que, par souci de complétude, une estimation de la vitesse de convergence une fois que la solution a pénétré dans un voisinage suffisamment petit du tourbillon d'Oseen, cette dernière estimation étant déjà plus ou moins contenue dans les travaux de Thierry Gallay et C. Eugene Wayne.
A priori pour s'assurer que la convergence vers un tourbillon d'Oseen a effectivement lieu dans un fluide réaliste, il faut être capable de retrouver cette convergence pour des fluides incompressibles de densité presque constante.
Dans l'article suivant, paru aux Annales de l'I.H.P. (C) (2009), est démontré un résultat de stabilité asymptotique des tourbillons d'Oseen — sans restriction sur le nombre de Reynolds — vis-à-vis de perturbations localisées de le densité et de la vorticité, qui implique que les écoulements incompressibles faiblement inhomogènes de petite vitesse initiale et de circulation non nulle convergent encore vers un tourbillon d'Oseen. Par ailleurs, ce résultat établit évidemment que le modèle incompressible à densité variable prédit que tous les tourbillons d'Oseen sont observables.
Encore une fois par souci de réalisme, il est souhaitable de retrouver également les profils de retour à l'équilibre obtenus par Gallay et Wayne — pour des fluides à densité constante de petite vitesse initiale — dans les écoulements compressibles.
À vrai dire, les profils de retour à l'équilibre pour les fluides compressibles lents et faiblement inhomogènes sont plutôt une combinaison des profils à densité constante et d'ondes acoustiques. La dernière partie de ma thèse a consisté en l'obtention d'une telle asymptotique, correspondant aux profils d'énergie finie pour les fluides à densité constante. Elle est également l'objet d'un article paru dans l'Indiana University Mathematics Journal (2009).