Modalités du concours
(extrait du rapport de jury 2005 )
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Épreuves d’admissibilité |
Durée |
Coefficient |
|---|---|---|
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Première épreuve |
6h |
5 |
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Deuxième épreuve |
6h |
5 |
Ces épreuves ont pour objectif d’évaluer la maîtrise des connaissances mathématiques et la capacité de les mobiliser pour étudier des situations, ainsi que la solidité, sur le plan scientifique, des acquis professionnels.
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Épreuves d’admission |
Préparation |
Durée |
Coefficient |
|---|---|---|---|
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Première épreuve : exposé |
3h (avec documents) |
1h |
5 |
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Deuxième épreuve : exercices |
3h (avec documents) |
1h |
5 |
La première épreuve présentera une séquence d’enseignement sur un thème donné, l’autre un choix d’exemples et d’exercices sur un thème donné.
Cette épreuve comporte trois parties : le plan , le développement , puis les questions du jury. Chacune dure un quart d’heure. Elle est précédée d’une préparation de trois heures avec les documents autorisés.
Durant le temps de préparation, les candidats peuvent utiliser les livres de la bibliothèque de l’agrégation ainsi que des livres qu’ils ont apportés hormis les ouvrages interdits qui sont ceux qui se présentent comme des recueils de leçons types.
Il est conseillé de bien lire et de comprendre le sujet. Il vaut mieux éviter de se disperser en cherchant dans un trop grand nombre d’ouvrages. Il faut bien sûr maîtriser les résultats du programme de l’agrégation correspondant au sujet traité, mais si un candidat, pour une application ou pour une comparaison de méthodes, évoque d’autres outils du programme, il est nécessaire qu’il les connaisse aussi. Rappelons que le candidat tire au sort une enveloppe contenant deux sujets, et qu’il est libre de choisir celui qu’il va traiter. Il est déconseillé de changer de choix en cours de préparation.
Les deux premières parties de l’interrogation (plan et exposé) se déroulent sans interruption, les questions ne débutent qu’après et portent en premier lieu sur ce qui vient d’être présenté. Ce mode de fonctionnement impose aux candidats de faire l’intégralité de son plan et de son développement sur le tableau. Il y a bien assez de place à condition de gérer correctement le tableau .
En quinze minutes, il s’agit de faire un exposé structuré sur le sujet choisi : définitions, énoncés clairs et précis, exemples, contre exemples, applications ... Cela doit ressembler à un cours magistral dans lequel on ne présente toutefois aucune démonstration. Il doit être conforme au programme de l’agrégation interne.
Le candidat n’est pas obligé d’être exhaustif sur le sujet, mais il est souhaitable qu’il puisse expliquer ses choix. Le jury attend avant tout un exposé logique avec des énoncés complets et exacts, des définitions et théorèmes (qu’il ne faut pas confondre) et une présentation rendue attrayante par l’intérêt porté par le candidat au sujet, par de nombreux exemples et quelques figures. Mais il est important aussi de montrer que l’on a compris l’utilité et la portée du chapitre en donnant des applications.
Le candidat doit gérer l’espace, le tableau et la durée de quinze minutes. Beaucoup de candidats restent dix minutes sur des généralités avant de “bâcler au sprint” les résultats importants et les applications. Les abréviations sont tolérées, on peut s’abstenir d’écrire quelques résultats proches d’autres résultats déjà mentionnés, mais les propositions et les définitions doivent être intégralement écrites au tableau “prêtes à être apprises par des élèves”. L’énoncé oral des prérequis est possible, en modérer la longueur.
Le candidat peut consulter ses notes personnelles en cours d’exposé mais ne peut se contenter de les recopier !
Il termine son exposé en indiquant le point qu’il se propose de développer dans la deuxième partie. Il est déconseillé de montrer au jury des hésitations sur ce choix.
Le candidat a le choix de développer une démonstration, un exemple ou une application. Ce choix doit être consistant, cohérent avec le niveau de l’exposé et pouvoir être présenté en quinze minutes. Il doit porter sur une partie significative de l’exposé : un même développement, bien préparé pendant l’année, peut servir dans plusieurs leçons mais pas dans toutes.
Pendant cette phase, le candidat doit mettre en valeur ses qualités pédagogiques, il doit travailler sans notes ; il a compris ce qu’il expose et le rend compréhensible à son auditoire :
il commence par expliquer les idées importantes de la démonstration avant de rentrer dans les détails techniques,
il s’appuie le plus possible sur des figures et pas seulement en géométrie,
il insiste sur les points difficiles,
il montre qu’il a bien compris le rôle de chacune des hypothèses.
Nous conseillons aux candidats de préparer soigneusement cette partie.
Le candidat doit avoir conscience que, par ses questions, le jury ne cherche qu’à
corriger une erreur commise, rectifier une imprécision dans le plan ou une démonstration,
contrôler si la démonstration est comprise ou seulement récitée, par exemple en variant les hypothèses,
vérifier que le candidat a une maîtrise suffisante des sujets abordés : par exemple un candidat qui a énoncé le théorème de Heine ne devrait pas avoir de difficulté à démontrer que la focntion sinus est uniformément continue sur toute la droite,
donner aux candidats l’occasion de montrer ses connaissances sur d’autres aspects du sujet ou des applications, en restant dans le cadre du programme.
On ne demande pas à un candidat qui vient de passer déjà plus de trente minutes d’épreuve devant un jury d’improviser la résolution d’un exercice.
Ainsi, le candidat ne doit pas se laisser démonter par ces questions, leur seul but est de lui permettre de se valoriser.
Cette épreuve, comme la précédente, dure quarante-cinq minutes maximum et elle est précédée de trois heures de préparation.
À son arrivée, le candidat tire au hasard une enveloppe comportant deux thèmes. Le candidat choisit un des thèmes parmi les deux qu’il a tirés et sélectionne des exercices l’illustrant. Il dispose pour cela de trois heures pendant lesquelles il peut librement s’aider des documents de la bibliothèque de l’agrégation interne, ainsi que de tout ouvrage qu’il aura lui-même apporté, à l’exclusion des ouvrages interdits.
À l’issue de cette préparation, le candidat doit fournir un document comportant les énoncés de trois à six exercices ainsi que les motivations de son choix. Ce document est photocopié ; en se présentant devant le jury, le candidat lui remet les photocopies et conserve l’original.
L’épreuve se déroule alors en trois temps :
Présentation motivée de l’ensemble des exercices sélectionnés par le candidat et illustrant le thème choisi (durée maximale de quinze minutes)
Résolution commentée d’un des exercices au choix du candidat parmi ceux qu’il vient de présenter (durée maximale de quinze minutes)
Questions du jury (durée maximale de quinze minutes)
Voici quelques remarques inspirées au jury par le concours 2005 :
Le choix des exercices
Il est important que le candidat propose :
Des exercices entrant bien dans le thème choisi . Un hors-sujet est toujours sanctionné. À propos des thèmes dont l’intitulé est du type “Exercices faisant intervenir ...”, il serait bon que la majorité des exercices proposés par le candidat ne soient pas des exercices destinés uniquement à étudier directement la notion en question. Ainsi, par exemple, pour le thème “Exercices faisant intervenir des polynômes”, un exercice illustrant l’utilisation d’un polynôme pour calculer le déterminant d’une matrice est apprécié. Par ailleurs, la seconde épreuve d’oral n’est pas une épreuve d’exposé de résultats de cours, et il souhaitable que les candidats fassent preuve de discernement en ce sens. Il ne s’agit donc pas de proposer des exercices qui consistent à démontrer des résultats de cours classiques, même si leur contenu mathématique est significatif (lemme des noyaux, théorème de Wilson, ou même la classification des groupes abéliens finis par exemple).
Des exercices de difficulté et technicité bien choisies . Même si le jury valorise évidemment un choix d’exercices difficiles, il est important de rappeler que le candidat doit être capable de résoudre tous les exercices qu’il propose. Il n’est pas rare de voir un candidat proposer plusieurs exercices difficiles et un exercice facile, choisir de résoudre l’exercice facile et s’avérer incapable de résoudre, voire de comprendre, l’un des autres exercices. Cette attitude est inévitablement sanctionnée. Rappelons aussi que la virtuosité dans les calculs techniques est certes appréciée, mais il vaut mieux éviter de présenter des exercices où la difficulté réside essentiellement dans la technicité. Un exercice dont le but est de calculer une intégrale, ou de montrer qu’une série est convergente, et dont la résolution nécessite l’établissement de plusieurs lemmes intermédiaires ou l’introduction de plusieurs fonctions auxiliaires ne valorise pas l’aptitude du candidat à se confronter véritablement aux difficultés rencontrées par des élèves, en l’absence d’indications notamment.
Des exercices offrant une application substancielle . Rappelons qu’un exercice trouvant son origine ou sa formulation dans d’autres thèmes voire d’autres sciences est toujours apprécié. Pour certains thèmes, cela devient une obligation : un bon choix d’exercices portant sur des systèmes d’équations différentielles devrait contenir des énoncés issus par exemple de la mécanique, de l’électronique ou autre.
Des exercices variés . En règle générale, les candidats doivent proposer des exercices illustrant plusieurs aspects du thème. Sans prétendre à l’exhaustivité, on appréciera notamment que le candidat choisisse des exercices illustrant plusieurs méthodes de résolution d’un même problème, ou bien des exercices de niveaux variés (plusieurs thèmes sont récurrents dans la scolarité et peuvent donc être illustrés différemment suivant le niveau auquel on se place), ou encore des exercices posant des questions différentes, au sein d’un même thème (par exemple étude de la convergence absolue, étude de la semi-convergence ou calcul explicite si le thème porte sur les intégrales impropres).
L’exposé motivé des exercices ⇧
Cette partie ne doit pas dépasser un quart d’heure. La parole est laissée au candidat qui doit argumenter son choix d’exercices. Malheureusement ce temps de l’épreuve est souvent réduit à la portion congrue. Beaucoup de candidats, en mal d’inspiration, reprennent oralement leurs énoncés, en présentent déjà des éléments de résolution ou se lancent dans de longs rappels de cours afin d’occuper tout le temps qu’il leur est imparti.
Rappelons encore une fois que, même s’il est possible de donner quelques énoncés de résultats de cours dans le but d’enrichir le propos pédagogique (mais l’occasion est assez rare), l’esprit de la seconde épreuve est différent de celui de la première.
La présentation des exercices doit être pour le candidat l’occasion de montrer qu’il connaît non seulement le sujet dont il parle, mais aussi les difficultés qui se posent lorsqu’il s’agit d’enseigner ce sujet, les applications éventuelles de certains résultats ou les comparaisons de performances de certaines méthodes.
Conscient de la difficulté de cette partie de l’épreuve, le jury ne pénalise pas beaucoup les candidats qui donnent une présentation trop rapide mais qui font preuve d’un réel effort pour respecter l’esprit de l’épreuve.
Quelques candidats invoquent le fait que leurs exercices sont destinés à un public d’étu-diants post-baccalauréat, auxquels ils n’ont pas vocation à être confrontés, pour justifier a posteriori que certains exercices soient formulés en des termes inexploitables par des élèves ou des étudiants. Il semble néanmoins raisonnable d’imaginer que la pratique pédagogique d’un enseignant est une qualité que tous les candidats doivent avoir développée et qui doit être mise en valeur, quels que soient les thèmes et le niveau choisi.
La résolution commentée d’un exercice ⇧
Le candidat choisit un exercice parmi ceux qu’il a choisi et le résout. Cette partie dure un quart d’heure.
Le candidat doit dominer la résolution et pouvoir s’affranchir de ses notes. Il est regrettable de constater qu’encore beaucoup de candidats, pourtant enseignants depuis plusieurs années pour la majorité, s’avèrent incapables de résoudre de façon autonome l’exercice qu’ils ont eux-mêmes choisi. Même si, exceptionnellement, le jury peut autoriser le candidat à consulter ses notes, il sanctionnera cette attitude dans son évaluation.
Dans certains exercices, le candidat peut choisir de passer rapidement sur certaines étapes de calcul afin d’arriver rapidement aux points importants de sa démonstration. Il peut ainsi, dans certaines situations particulièrement techniques, être autorisé à recourir à ses notes.
Le jury peut intervenir à tout moment, par exemple pour faire préciser des hypothèses ou résultats employés, ou rectifier des erreurs d’inattention qui peuvent nuire à la suite de la résolution; dans certaines situations, l’utilisation de figures ou de diagrammes explicatifs est vivement appréciée.
Cette phase éclaircit et prolonge les deux premières. Les questions peuvent ainsi porter sur certaines motivations ou sur la résolution proposée. Il peut aussi être demandé au candidat de résoudre, éventuellement partiellement, un autre exercice qu’il a proposé et que le jury choisit, ou bien que le candidat n’a pas proposé. Cette phase de l’épreuve étant essentielle, le jury tient à garder suffisamment de temps pour cette phase et peut donc être amené à abréger ou interrompre l’une des deux premières étapes au bout du temps imparti. Lors de cette étape, le jury finit d’évaluer le recul pris par le candidat sur le thème choisi.
On peut noter que sur les thèmes autour de l’approximation des nombres ou même de la convergence en général, encore trop de candidats ne peuvent comparer les différentes méthodes qu’ils ont choisi de proposer, notamment en termes de vitesse de convergence ou de précision, voire s’avèrent incapables de donner un sens, même “vague”, à ces notions.
On constate encore des confusions entre les différents types de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions.
Malgré tout, le candidat ne doit pas se laisser effrayer par les questions : tous les ans, on voit des candidats bien notés quitter la salle de leur épreuve avec l’impression d’un échec parce qu’ils n’ont pas répondu à la dernière question posée.
Conclusion
Réussir cette seconde épreuve, c’est avoir réussi la compilation parfois difficile des compétences suivantes : non seulement maîtriser un thème mathématique donné, mais aussi avoir pris suffisamment de recul sur ce thème pour être conscient des difficultés sur lesquelles sont enseignement peut déboucher et des diverses mises en lumière qu’on peut lui donner. Tout effort notable d’un candidat en ce sens sera reconnu et apprécié.