Les problèmes de mécanique peuvent être formulés dans le cadre de la géométrie différentielle pour en dégager d’une manière assez élégante les propriétés fondamentales comme les intégrales premières (ou d’une manière générale les lois de conservation), les solutions auto-similaires et les symétries fondamentales.
Dans notre exposé, nous nous intéresserons plus particulièrement aux symétries de Lie des équations de la mécanique des fluides. Ce sont les transformations portant sur l’espace, le temps, la vitesse, la pression et la température qui laissent invariants l’ensemble des solutions. Elles forment un groupe de Lie (local) qui traduit de nombreuses propriétés en mécanique des fluides. Nous montrerons comment en tirer profit pour construire des lois de parois pour les écoulements turbulents anisothermes ainsi que des modèles de turbulence pour la simulation des grosses échelles (LES).

Enfin, nous présenterons des méthodes de discrétisations des équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides qui sont basées sur un formalisme géométrique préservant la structure des équations de départ. Ces schémas préservent les propriétés physiques. Il s’agit des intégrateurs géométriques. Nous présenterons une méthode pour construire des schémas numériques qui préservent le groupe des symétries de Lie des équations. L’intérêt et quelques propriétés de ce type de schéma numérique seront illustrés sur quelques exemples académiques.

This lecture presents an overview of Lagrangian approach model to formulate various fields of continuum physics, ranging from gradient continuum elasticity to relativistic gravito-electromagnetism. It extends the classical theories based on Riemann geometry to Riemann-Cartan geometry, and then describes nonhomogeneous continuum and spacetime with torsion in Einstein-Cartan relativistic gravitation.
It briefly reminds two aspects of invariance of the Lagrangian: covariance of formulation following the method of Lovelock and Rund, and gauge invariance where the active diffeomorphism invariance is considered by using local Poincaré gauge theory according to the Utiyama method.
Further, it develops various extensions of strain gradient continuum elasticity, relativistic gravitation and electromagnetism when the torsion field of the Riemann- Cartan continuum is not equal to zero. Lastly, it derives heterogeneous wave propagation equations within twisted and curved manifolds and proposes a relation between electromagnetic potential and torsion tensor.

Depuis plusieurs années nous nous sommes intéressés aux milieux non conservatifs développant des concepts originaux comme ceux de degré géométrique de non conservativité (GDNC) ou de stabilité structurelle cinématique (KISS). Une grande part des résultats ont été obtenus dans le cadre linéaire (ou dit autrement des fibrés vectoriels de base réduite à un point). Depuis deux ans, nous avons entrepris de les étendre aux cas général des fibrés vectoriels (de base des variétés de dimension finie). Cet exposé s’inscrit dans ce cadre. Nous exposerons des résultats récents et présenterons des questions ouvertes qui pourraient faire l’objet de travaux collaboratifs futurs.

Nous donnons des formules de reconstructions équivariantes de la partie harmonique d’ordre 4 du tenseur d’élasticité, orthotrope ou isotrope transverse, à l’aide de tenseurs d’ordre 2. Cette reconstruction s’obtient par l’intermédiaire de tenseurs covariants et d’un produit associatif et commutatif défini sur les tenseurs harmoniques, appelé produit harmonique. Une telle reconstruction équivariante est encore possible dans le cas d’un tenseur harmonique d’ordre 4 trigonal ou tétragonal, mais elle fait intervenir un tenseur covariant (reste) cubique d’ordre 4.
Nous motivons nos travaux par des exemples de matériaux utilisés dans l’aéronautique (superalliages mono-cristallins, composites tissés 3D) ayant des symétries usuelles pour le mécanicien (orthotropie, symétrie cubique) et des exemples d’application, en mécanique de l’endommagement notamment, faisant intervenir des carrés harmoniques.

J'exposerai les dernières avancées mathématiques sur le tenseur d'élasticité, notamment sur ses invariants et covariants. Une base minimale complète de 297 invariants a été générée récemment et des critères intrinsèques (i.e. indépendant de toute orientation spatiale d'un matériau anisotrope), caractérisant la classe de symétrie de son tenseur d'élasticité, ont été formulés en utilisant des covariants polynomiaux (un concept plus général que la notion d'invariant). J'expliquerai les étapes principales de ces développements et présenterai les outils mathématiques qui ont permis d'obtenir ces résultats à partir de la théorie des invariants des formes binaires et de leur traduction tensorielle.

Dans cet exposé je vais décrire certains objets de la géométrie dite généralisée, qui apparaissent naturellement dans l'analyse des syst`mes mécaniques. En particulier on va parler des structures de Dirac dans le cadre des systèmes avec les contraintes (avec une référence à l'école de J. Marsden), ainsi que des systèmes Hamiltoniens à ports (A. van der Schaft et B. Maschke). Du point de vue mathématique, les structures de Dirac généralisent à la fois les structures symplectiques et de Poisson. Pour la mécanique, l'idée est de concevoir les schémas numériques qui préservent ces structures et garantissent ainsi le bon comportement physique dans la simulation.
Cette partie est essentiellement basée sur le preprint: arXiv:1807.06652
Ensuite, je vais présenter le cadre encore plus général, celui des variétés différentielles graduées (dites aussi Q-variétés), et discuter des pistes possibles de leur utilisation pour la mécanique.

Dans cet exposé nous commençons par rappeler l’émergence des deux concepts duaux que sont la stabilité structurelle cinématique (KISS en anglais) et le degré géométrique de non conservativité (GDNC en anglais) d’un point de vue historique et dans un cadre linéaire ainsi que la résolution des questions associées grâce aux outils de compression d’opérateur et de calcul extérieur. L’extension dans le cadre non linéaire est ensuite traitée par la géométrie symplectique pour le GDNC et par le calcul dans les fibrés vectoriels pour le KISS. Le dernier point est plus largement développé dans le cadre d’une vison incrémentale intrinsèque non linéaire (transversalité, connexions,…). Quelques questions non résolues concluent la présentation.