MNUM - Méthodes numériques

Semestre 1, 6 ECTS,
C 24h, TD 36h.

• Recherche des zéros (dichotomie, Newton)
• Calculs d’intégrales (interpolation, méthodes de Gauss, méthodes de Monte-Carlo)
• Quelques algorithmes sur les matrices (factorisations, conditionnement)
• Équations différentielles (théorie et numérique)
• Approximation de fonctions (interpolation, splines,...)
• Extrapolation à la limite (Richardson, accélération de la convergence).
• Introduction à la méthode des différences finies (Dimensions 1 et 2).

Savoir-faire :

• Résoudre numériquement des systèmes linéaires ou non linéaires, des problèmes d’équations différentielles ordinaires,
• calculer numériquement des intégrales,
• représenter des fonctions.

MODSYM - Modélisation et simulation numérique de phénomènes physiques

Semestre 2, 9 ECTS,
C 36h, TD 24h, TP 24h.

• Introduction aux modèles fondamentaux : stationnaires (équation de Laplace), propagatifs (transport, ondes), diffusifs (chaleur).
• L’équation de Laplace en dimension 2 : formulation variationnelle pour différents problèmes aux limites, utilisation du théorème de Lax-Milgram, méthodes des éléments finis.
• L’équation de transport en dimension 1 d’espace : méthode des caractéristiques, différences finies.

Savoir-faire :

• Modéliser des phénomènes physiques classiques à l’aide d’équations aux dérivées partielles,
• poser le problème mathématique correspondant,
• résoudre numériquement les problèmes d’équations aux dérivées partielles obtenus.

RECHOP - Optimisation discrète et recherche opérationnelle

Semestre 2, 6 ECTS
C 24h, TD 24h.

• Éléments de programmation linéaire : optimisation linéaire, dualité, résolution du problème de programmation linéaire
• Éléments de la théorie des graphes : représentation, plus court chemin
• Réseaux et programmation linéaire : le problème de transbordement, algorithme fini du simplexe pour les réseaux, problème de transport
• Flot sur un réseau de transport : flot maximum, flot à coût minimum
• Arbres optimaux.

Savoir-faire :

• Reconnaître et modéliser un problème d’optimisation dans diverses situations.
• Choisir la bonne méthode pour le résoudre.

PROGC - Programmation C

Semestre 1, 3 ECTS,
C 12h, TP 12h.

Ce cours est un cours de mise à niveau accéléré en C.
- Généralités (historique, structure d'un programme, règles de base)
- Types de données, tableaux
- Syntaxe du C
- Pointeurs
- Gestion de la mémoire
- Utilisation des bibliothèques
- Utilisation du compilateur
Une grande partie des TP sera consacré à des mini-projets en analyse numérique et en algèbre

OTIC - Outils informatiques pour le calcul
(L3 Mathématiques)

Semestre 2, 6 ECTS
C 20h, TD 20h, TP 20h.

• Rappels de logique.
• Description de l'exécution d'une instruction.
• Notion de sous-programme.
• Gestion de la mémoire.
• Structure de données.
• Manipulation de fichiers.
• Création de l'exécutable.
• Méthodologie : analyse du problème, choix d'un algorithme, programmation, test de validation.
• Syntaxe de base: nombre, vecteurs, matrices et opérations élémentaires; les boucles "for" et les instructions conditionnelles "if".
• Graphiques simples: courbes et histogrammes.
• Calcul matriciel: valeurs et vecteurs propres, diagonalisation, factorisations LU et de Cholesky.
• Résolution de systèmes linéaires : méthodes directes et itératives.
• Simulations: nombres au hasard, marche au hasard sur un damier, aiguille de Buffon virtuelle ou comment perdre du temps en calculant mal par Scilab la valeur bien connue de Pi (3,1415925...).
• Langage C, scilab.

PSPHY - Programmation scientifique
(M1 Mécanique)

Semestre 1, 3ECTS,
C 16h, TP 20h.

• Prorammation scientifique : Acquérir les connaissances de base nécessaires sur le fonctionnement des ordinateurs pour leur utilisation efficace en simulation numérique, apprendre à développer des programmes clairs, performants et portables, appliquer des méthodes numériques fondamentales pour la résolution de problèmes physiques simples, combiner les notions acquises pour la résolution de problèmes plus complexes
  • Environnement Unix/Linux.
  • Langage C ou Fortran 90.
  • Développement de programmes pour la résolution de problèmes numériques de difficulté croissante, application à l’intégration d’équations différentielles modélisant des systèmes mécaniques et des phénomènes physiques.
  • Développement d’un programme comprenant plusieurs modules

ALGO - Algorithmique de base

Semestre 1, 6 ECTS,
C 24h, TD 36h.

• Numérique : représentation des entiers, des réels ; quatre opérations ; algorithmes de calculs de fonctions transcendantes ; algorithme d’Euclide (entiers et polynômes).
• Algorithmes de tri.
• Notions de complexité (comptage du nombre d’opérations).
• Initiation à la programmation C/C++.

ENVIND - Formation à l'environnement industriel

Semestre 1, Conférences.

Échanger avec des ingénieurs mathématiciens travaillant dans différents secteurs pour préciser ses connaissances du métier, des offres d'emploi, des compétences à développer.

Stage ou Projet tutoré

Semestre 2, 6 ECTS

Projet appliqué dans une thématique de la spécialité ou bien projet en entreprise de deux mois.

ELAS - Développements sur l'élasticité
(L3 Mécanique)

L'élasticité linéaire est le modèle de comportement avec lequel on débute la mécanique des milieux continus. (la construction et l'utilisation de modèles plus puissants s'en inspire). On définit la déformation d'un corps, les contraintes qu'il subit, son comportement sous des actions simples telles que la traction, la torsion ou la flexion. Les applications sont déjà une initiation aux situations d'études rencontrées par l'ingénieur. Les mathématiques associées utilisent du calcul matriciel et différentiel classiques.

• Contraintes et déformations, Tenseur des contraintes, Interprétation géométrique des déformations.
• Milieu continu, milieux déformables, Tenseur des déformations linéarisation, Linéarisation du tenseur des déformations, Elasticité de Hooke, élasticité linéaire isotrope, Variables lagrangienne et eulériennes, dérivées particulaires, Conservation de la masse et de la quantité de mouvement .
• Compatibilité des déformations, Équation de Navier, de Beltrami.
• Invariants et espace des contraintes, Lois de conservation.
• Introduction à la thermodynamique, Potentiels d’élasticité.
• Problèmes aux limites, Problèmes plans, Déformations planes et contraintes planes.
• Équations des ondes de compression et de cisaillement, Ondes guidées et de surfaces.

MECANA - Mécanique analytique
(L3 Mécanique)

Semestre 1, 6 ECTS,
C 24, TD 24, TP 6.

• Rappel de la mécanique des solides rigides : rotation, tenseur d’inertie, équation d’Euler.
• Equations d’Euler-Lagrange : méthode de d’Alembert, principe variationnel de Hamilton, liaisons holonomes, applications aux systèmes.
• Stabilité des systèmes discrets : critère énergétique (Lejeune-Dirichlet), critère
  dynamique (Lyapounov).
• Vibrations linéaires des systèmes discrets : oscillateur conservatif, oscillateur dissipatif, notions de modes propres, vibrations forcées déterministes.

DYNSTR - Dynamique des structures-poutres
(M1 Mécanique)

Semestre 1, 6 ECTS,
C 18h, TD 18h, TP 12h.

• Dynamique des poutres.
• Rappel de déformation d'un milieu continu.
• Hypothèses cinématiques et équations d'équilibre (à partir des milieux continus).
• Ondes et vibrations dans les cordes: vibrations libres, vibrations forcées, analyse modale, conditiond'orthogonalité.
• Puissance des déformations et variables conjuguées des poutres.
• Ondes et vibrations de flexion des poutres droites: Modèle de Timoshenko, modèle d'Euler-Bernoulli, vibrations libres, vibrations forcées, analyse modale, orthogonalité des modes propres.
• Ondes et vibrations des poutres courbes.
• Ondes élastiques tridimensionnelles dans les poutres.
• Mise en évidence des ondes : ondes longitudinales, ondes de cisaillement, décomposition de Helmholtz.
• Amortissement visqueux des poutres : Discrétisation par le Principe des puissances virtuelles, décomposition dans une base modale
• Applications aux arbres.

MFL - Mécanique des fluides
(L3 Mécanique)

Semestre 2, 6 ECTS,
C 24, TD 24, TP 12.

• bases de la mécanique des fluides :
  • Fondements : Rappels de Mécanique classique, différences fluide versus solide, Hypothèse de milieu continu, Modélisation des efforts, vecteur contrainte, tenseur des contraintes, calcul indiciel et tenseur d'ordre 2.
  • Cinématique : Notion d'écoulement, description lagrangienne et eulérienne d'un écoulement, volume matériel et volume de contrôle, dérivée particulaire et relation entre les deux descriptions. Trajectoire, ligne de courant, décomposition du gradient du champ des vitesses et analyse du mouvement relatif.
  • Dynamique : Conservation du flux pour une quantité conservée, Equation de conservation de la masse (forme globale et locale), Equation de conservation de la quantité de mouvement (forme globale et locale).
• Modélisation en mécanique des fluides :
  • Modèle du fluide Newtonien : Loi de comportement; Equations de Navier-Stokes, Navier et Euler; conditions aux limites cinématiques sur une paroi et sur une interface entre deux fluides non- miscibles.
  • Mécanique des fluides pour l'ingénieur : Théorème de Bernoulli, Conservation des débits , Théorème d'Euler.
  • Description lagrangienne en mécanique des fluides : Dérivée particulaire d'une intégrale de volume, Equations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement (formes globales et locales).
  • Analyse dimensionnelle et similitude : Observables, quantités physiques et dimension; Objectifs de l'analyse dimensionnelle; Quatre types de grandeurs physiques; Démonstration du Théorème de Vaschy-Buckingham.
  • Exemple 1 : Modélisation de la portance : pourquoi un avion vole-t-il?
    (modélisation 2D, fluide parfait et homogène), Fonction de courant, Fonction potentiel, circulation, Effet Coanda et condition de Kutta-Joukowski.
  • Exemple 2 : Modèle de couche limite de Prandtl, Dégénérescence de Navier-Stokes, Zone interne (modèle d'Euler), zone externe (modèle de Prandtl), Solution de Blasius des équations de Prandtl, Épaisseur de couche limite et épaisseur(s) de déplacement, Relation de intégrale de Karman et calcul du coefficient de frottement.

ANA - Analyse réelle et complexe de base

Semestre 1, 9 ECTS,
C 36h, TD 36h, TP 12h.

• Espaces de Hilbert, séries de Fourier
• Transformée de Fourier et transformée de Fourier Laplace (rappels sur l’intégration, la convolution, les espaces Lp,...)
• Fonctions analytiques d’une variable complexe
• En travaux pratiques : équation de la chaleur sur un intervalle et méthodes numériques associées ; transformée de Fourier rapide, éventuellement ondelettes.

Savoir-faire : Manipuler les notions de base de l’analyse réelle et complexe.

EDPT - Équations différentielles et phénomènes de transport

Semestre 1, 6 ECTS,
C 24h, TD 24h.

• Équations différentielles (rappels et compléments) : théorème de Cauchy-Lipschitz, flot d’un champ de vecteur, méthodes numériques.
• Introduction aux équations aux dérivées partielles et aux modèles fondamentaux.
• Équations de transport : méthode des caractéristiques, invariants, systèmes à coefficients constants.
• Approximation par la méthode des différences finies : consistance, ordre, stabilité, théorème d’équivalence de Lax, analyse de von Neumann.

Savoir-faire : étude les équations différentielles avec conditions initiales et les problèmes aux limites unidimensionnels, mise en œuvre de méthodes numériques de résolution.

FSPE - Fonctions spéciales et fonctions holomorphes

Semestre 2, 6 ECTS,
C 24h, TD 24h.

• Familles normales et représentation conforme.
• Développements asymptotiques (méthode de Laplace, de la phase stationnaire, du col) ; fonction d’Airy.
• Équations différentielles dans le plan complexe (théorie locale) ; théorie de Fuchs; fonction de Bessel.

Savoir-faire : Maîtriser des outils de base de l’analyse réelle et complexe.