M1 MF — Analyse Fonctionnelle

Dans ce cours, il sera question d'analyse fonctionnelle, c’est-à-dire de l’étude des propriétés topologiques d’espaces vectoriels de fonctions (de dimension infinie) et des opérateurs sur de tels espaces. Il s’agit d’une branche omniprésente des mathématiques qui a pris son essor au début du XX° siècle. Cette problématique est essentielle en vue d’aborder la résolution de problèmes dont l’inconnue est une fonction.

Les connaissances fondamentales de Licence relatives à la topologie et à la théorie de la mesure sont essentielles et feront l’objet de quelques rappels préliminaires. Nous travaillerons principalement sur des espaces de Banach et de façon plus approfondie sur le cas particulier des espaces de Hilbert. L’utilisation de bases hilbertiennes intervient de façon efficace dans la résolution de très nombreux problèmes (e.g. théorie de Fourier).

Quelques notions importantes du cours :

• Les théorèmes de l’analyse fonctionnelle : principe de la borne uniforme de Banach-Steinhaus, théorème de l’application ouverte de Banach-Schauder, théorème d’isomorphisme de Banach, théorème du graphe fermé.
• Dualité dans les espaces de Banach. Théorème de Hahn-Banach. Topologies faibles et faible-étoile. Réflexivité
• Analyse hilbertienne. Théorème de représentation de Riesz. Bases hilbertiennes et exemples classiques (polynômes orthogonaux)
• Éléments de théorie spectrale pour les applications linéaires continues sur un Banach. Diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints ou normaux.