Présentation du module ANU :
Les mathématiques jouent un rôle insoupçonné dans le quotidien de
chacun : télécommunication, aérodynamisme d'un véhicule, structure d'un
viaduc, médecine, ... Bon nombre de nos activités quotidiennes cachent
des simulations numériques devenues nécessaires à l'ingénierie. Ce
module de mathématiques a pour objectif d'initier à un échantillon de
méthodes numériques effectivement utilisées dans l'ingénierie. Ces
méthodes contribuent doublement à l'utilisation des mathématiques au
service de la biologie, chimie, physique, ... : D'une part, elles
permettent d'automatiser certaines méthodes mathématiques afin de les
appliquer à des situations non réalisables à la main de par leur
taille, via l'utilisation des ordinateurs. D'autre part, elles étendent
des concepts d'intégration, de résolution d'équation à des
configurations impossibles à résoudre de manière exacte par
l'introduction d'une approximation que l'on s'efforce de quantifier et
contrôler.
- Résolution d'équations : Méthode du point fixe,
dichotomie, méthode de Newton, ...
- Interpolation polynomiale : Polynômes d'interpolation de
Lagrange, formule d'interpolation de Newton, interpolation d'Hermite,
...
- Approximation polynomiale et polynômes orthogonaux :
Estimations d'erreur, polynômes de Legendre, Chebyshev, Laguerre,
Hermite, Jacobi.
- Intégration numérique : Méthodes d'intégration
élémentaires (Point milieu, trapèzes, Simpson, Newton-Cotes), Méthodes
d'intégration composées, estimations d'erreur - théorème de Peano,
formules d'intégration de Gauss.
- Quarterono, Sacco, Saleri.
Méthodes numériques en analyse. Springer, 2004
- Crouzeix, Mignot.
Analyse numérique des équations différentielles. (premiers chapitres)
Paris, Masson, 1989
- Rappaz, Picasso.
Introduction à l'analyse numérique. Presses polytechniques et
universitaires romanes, 2004
- Dion, Gaudet.
Méthodes d'analyse numérique : de la théorie à l'application. Modulo
Editeur, 1996
Connaissances élémentaires en analyse (résolution d'équations -
continuité et dérivation de fonctions - intégration - ...)
Si l'on se donne n+1 points du plan, à abscisses distinctes, on sait qu'il existe
exactement un polynôme de degré passant par ses points. Ceci est le
concept de base de l'interpolation polynomiale : Etant données une
fonction f et n+1 abscisses distinctes, x_0, x_1, x_2, ... , x_n, en considérant les points (x_0, f(x_0)), ... ,
(x_n, f(x_n)), on peut définir un polynôme d'interpolation de la
fonction f.
On verra en cours que ce concept très simple nécessite néanmoins
certaines précautions. Un degré de liberté reste le choix des abscisses
...
Lorsque les abscisses sont choisies équidistantes (choix relativement
naturel), lorsque le nombre de points (n+1) augmente, pour une
fonction finalement pas si sympathique x -> 1/(1+16x^2) on peut
obtenir un phénomène indésirable : Le phénomène de Runge - alors que
l'on souhaiterait une approximation de plus en plus proche de la
fonction x\mapsto 1/(1+16x^2), lorsque la valeur de n augmente, les
polynômes décrochent complètement sur les bords de l'intervalle
d'approximation.
Illustrations sur l'intervalle [-1,1] (la fonction en noir, son
polynôme d'interpolation de Lagrange aux points équidistants en bleu et
une alternative en vert : l'interpolation aux points de Chebyshev) :
avec n =
7,
avec n =
10,
avec n =
15,
L'interpolation aux points de Chebyshev sera détaillée dans ce module.
