L2 -- Module ANU -- Méthodes numériques en analyse
Année 2016/2017

Présentation générale du module ANU           Organisation du module ANU


Florian Méhats (mes coordonnées)

Informations générales au sujet de la Licence : Site de la licence de mathématiques de Rennes 1.

(Dernière modification : 3 janvier 2017)

Présentation du module ANU :

Objectifs :

Les mathématiques jouent un rôle insoupçonné dans le quotidien de chacun : télécommunication, aérodynamisme d'un véhicule, structure d'un viaduc, médecine, ... Bon nombre de nos activités quotidiennes cachent des simulations numériques devenues nécessaires à l'ingénierie. Ce module de mathématiques a pour objectif d'initier à un échantillon de méthodes numériques effectivement utilisées dans l'ingénierie. Ces méthodes contribuent doublement à l'utilisation des mathématiques au service de la biologie, chimie, physique, ... : D'une part, elles permettent d'automatiser certaines méthodes mathématiques afin de les appliquer à des situations non réalisables à la main de par leur taille, via l'utilisation des ordinateurs. D'autre part, elles étendent des concepts d'intégration, de résolution d'équation à des configurations impossibles à résoudre de manière exacte par l'introduction d'une approximation que l'on s'efforce de quantifier et contrôler.

Descriptif :

Références bibliographiques :

Prérequis :

Connaissances élémentaires en analyse (résolution d'équations - continuité et dérivation de fonctions - intégration - ...)

Illustration :

Si l'on se donne n+1 points du plan, à abscisses distinctes, on sait qu'il existe exactement un polynôme de degré passant par ses points. Ceci est le concept de base de l'interpolation polynomiale : Etant données une fonction f et n+1 abscisses distinctes, x_0, x_1, x_2, ... , x_n, en considérant les points (x_0, f(x_0)), ... , (x_n, f(x_n)), on peut définir un polynôme d'interpolation de la fonction f.

On verra en cours que ce concept très simple nécessite néanmoins certaines précautions. Un degré de liberté reste le choix des abscisses ...

Lorsque les abscisses sont choisies équidistantes (choix relativement naturel), lorsque le nombre de points (n+1) augmente, pour une fonction finalement pas si sympathique x -> 1/(1+16x^2) on peut obtenir un phénomène indésirable : Le phénomène de Runge - alors que l'on souhaiterait une approximation de plus en plus proche de la fonction x\mapsto 1/(1+16x^2), lorsque la valeur de n augmente, les polynômes décrochent complètement sur les bords de l'intervalle d'approximation.

Illustrations sur l'intervalle [-1,1] (la fonction en noir, son polynôme d'interpolation de Lagrange aux points équidistants en bleu et une alternative en vert : l'interpolation aux points de Chebyshev) :

            avec n = 7,



            avec n = 10,



            avec n = 15,



            L'interpolation aux points de Chebyshev sera détaillée dans ce module.