Reynald Lercier

H. Cohen et G. Frey, editeurs. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. Chapitre 17, Point Counting on Elliptic and Hyperelliptic Curves, R. Lercier, D. Lubicz and F. Vercauteren, pages 407-449. Discrete Mathematics and its Applications. Chapman & Hall/CRC, 2006. K.H. Rosen, éditeur de la collection.

Le problème du logarithme discret pour des courbes elliptiques et hyperelliptiques a gagné beaucoup en popularité pour son utilisation comme primitive cryptographique. La raison principale est qu'aucun algorithme de complexité sous-exponentielle pour calculer des logarithmes discrets sur des courbes de petits genres est aujourd'hui connu, excepté dans de très rares cas. Par conséquent, les cryptosystèmes à base de courbe nécessitent pour une sécurité similaire des clefs de tailles bien plus petites que des clefs RSA. Cela les rend particulièrement attractives pour les implantation sur des supports contraints comme par exemple des cartes à puce ou dans les applications à haut niveau de sécurité.

Ce “ Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography” introduit la théorie et les algorithmes nécessaire à une cryptographie de ce type. Après une introduction mathématique très complète, il propose des algorithmes prêts à l'emploi pour les opérations de groupes ou le calcul d'accouplement. Il explore les méthodes pour compter des nombres de points et construire des courbes avec multiplication complexe, et propose des algorithmes explicites. Il donne aussi un panorama sur les méthodes génériques pour la résolution du logarithme discret et détaille les méthodes de type “index-calculus” pour les courbes hyperelliptiques. Pour des courbes très spéciales, le problème du logarithme discret peut-être transféré vers un problème plus facile. Les conséquences sont expliquées et les suggestions pour de bons choix sont donnés. Les auteurs présentent des applications clientes de protocoles à base de logarithmes discrets (incluant les structures bilinéaires) et explique l'utilisation de courbes elliptiques et hyperelliptiques pour la factorisation ou la primalité d'entiers. Deux chapitres explorent leur mise en œuvre pour des applications efficaces sur cartes à puce. Les aspects pratiques et théoriques des attaques par canaux auxiliaires, des contremesures et un chapitre sur les générateurs pseudo-aléatoires termine l'ouvrage.

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