Licence SFNE, UE Maths LG310
Corrigé du TD 2
Exercice 2
D'abord on calcule la DFP de 780 : 780 = 22× 3× 5×
13. Si on veut un nombre décimal a/b (ceci étant une écriture
sous forme de fraction irréductible), il faut que les seuls facteurs
premiers de b soient 2 et 5.
Profitons-en pour faire un rappel : par définition 1 n'est
pas un nombre premier. Ceci est motivé par le fait que les nombres
premiers sont ceux qui servent à écrire tout nombre comme un
produit unique, or si on acceptait que 1 soit un nombre premier,
on n'aurait pas d'unicité possible car on pourrait multiplier par
1 autant de fois que l'on veut, c'est-à-dire ajouter un facteur
1n à la DFP. En conséquence, à proprement parler seuls les
nombres ≥ 2 ont une DFP (cf cours du 1er semestre). Cependant on
considère en général que la DFP du nombre 1 est égale à
1 lui-même.
Au vu de ce rappel, les valeurs possibles pour notre nombre b sont
1 ainsi que les produits de puissances de 2 et de 5 (contenues
dans 780 = 22× 3× 5× 13 naturellement). Notons enfin
que pour que a et b soient premiers entre eux, il faut que l'on
prenne dans b la puissance de 2 (ou de 5) la plus grande
possible, car sinon, par exemple si on prend b = 2, alors a = 2×
3× 5× 13 est lui aussi divisible par 2. En conclusion,
b = 1 ou b = 4 ou b = 5 ou b = 20.
On trouve alors respectivement a = 780, a = 195, a = 156 et a = 39.
Exercice 3
Après avoir calculé les première valeurs de Fn on a
l'impression que ce n'est jamais un nombre décimal. Nous allons le
montrer, pour cela, on suppose que pour un certain n≥ 2 (on sait
que F1 = 11/6 n'est pas décimal) le nombre Fn est décimal, et
on va montrer qu'on obtient une contradiction.
1ère étape : traduction de l'énoncé.
Dire que Fn est décimal, par définition c'est dire qu'il existe
des entiers a≥ 1 et k≥ 0 tels que Fn = a/10k (a≥ 1 car
Fn≥ 0). Or on a
donc on obtient an(n+1)(n+2) = 10k(3n2+6n+2).
2ème étape : un petit calcul.
Montrons que le seul facteur premier commun à n(n+1)(n+2) et
3n2+6n+2 est 2. Soit p un tel facteur premier commun ; on
observe que p divise n, ou n+1, ou n+2, et on distingue donc
trois cas.
-
(1)
- Si p divise n, alors 3n2+6n+2≡ 2 (p). (N'oubliez pas que p divise n signifie que n≡ 0 (p), donc
3n2+6n+2≡ 2 (p).) Donc p ne peut diviser 3n2+6n+2 que
si p = 2.
- (2)
- Si p divise n+1 on a : n+1≡ 0 (p) c'est-à-dire
n≡ −1 (p), donc
3n2+6n+2≡ 3(−1)2+6(−1)+2 = −1 (p) .
Dans ce cas-là il est impossible que p divise 3n2+6n+2.
- (3)
- Si p divise n+2 on a n+2≡ 0 (p) c'est-à-dire
n≡ −2 (p), donc
3n2+6n+2≡ 3(−2)2+6(−2)+2 = 2 (p) .
Donc p = 2 ici encore.
3ème étape : conclusion.
Des trois nombres n, n+1 et n+2, l'un au moins est divisible par
3. Comme le seul facteur premier commun à n(n+1)(n+2) et
3n2+6n+2 est 2 (deuxième étape), ce facteur 3 ne divise pas
3n2+6n+2. Comme 3 n'est pas non plus un diviseur de 10,
une égalité an(n+1)(n+2) = 10k(3n2+6n+2) comme dans l'étape
(1) ne peut pas avoir lieu. De la contradiction, on déduit que Fn
n'est pas décimal.
Un petit complément. On peut déduire de ce qui précède
une écriture sous forme de fraction irréductible pour Fn. En
effet, dans l'étape (2) on a montré que le seul facteur premier
possible p commun à n(n+1)(n+2) et 3n2+6n+2 était p = 2. On a
même montré que ceci ne pouvait se produire que si p|n ou p|n+2,
donc (puisque p=2) n est pair.
Ainsi lorsque n est impair,
n(n+1)(n+2) et 3n2+6n+2 sont premiers entre eux donc l'écriture
est bien une forme irréductible.
Et si n = 2k est pair, alors n2 et 6n sont divisibles par 4 de
sorte que modulo 4 on a
3n2+6n+2≡ 2 (4)
Donc 3n2+6n+2 est divisible par 2 mais pas par 4, et par suite,
Fn est mis sous forme de fraction irréductible en divisant le
numérateur et le dénominateur par 2. Précisément, comme
n = 2k on peut écrire
Exercice 4
Je ne donne la correction que pour un exemple qui n'est pas dans la
feuille : x = 123814,2857142857.... La méthode la plus rapide consiste
à repérer la séquence qui est périodique, ici c'est 142857
(attention : elle commence avant la virgule). On n'a besoin de
connaître en fait que sa longueur qui est 6, on multiplie le
nombre donné par 106 ;
106× 123814,2857142857... = 123814285714,2857...
de sorte que 106x−x = 123814285714−123814 = 123814161900 = (106−1)x. Alors
La deuxième méthode expliquée en TD est d'écrire
Alors on utilise la formule valable pour |q|<1 :
et on obtient en prenant q = 1/106
| 123814,2857142857... =
123800+ |
|
× |
|
= ...
|
Exercice 5
À propos de cet exercice, voir aussi l'exercice supplémentaire qui est en ligne ici.
Par définition, dire que << le pourcentage de réussite a été de
47,82% par défaut >> veut dire que
On en déduit que 104a<4783b≤ 4783× 30=143490. Il en
découle que a≤ 14,34... donc a≤ 14.
Comme a/b<1/2 on a b>2a. En fait a/b est très proche de 1/2
et on peut donc penser que b=2a+1. On va le montrer, pour
cela il suffit de montrer que b≥ 2a+2 est impossible. Or si b≥
2a+2 on a a/b≤ a/(2a+2) donc
En multipliant par a+1 on en déduit 47(a+1)<50a donc
47≤ 3a. Ceci entraîne a>15 ce qui est impossible, on l'a vu.
La conclusion est que b=2a+1.
Pour trouver a repartons de l'inégalité
On en tire 47,82(2a+1)≤ 100a<47,83(2a+1) et donc 47,82≤
4,36× a d'une part et 4,34× a<47,83 d'autre part. Donc
Donc a=11. Alors b=2a+1=23 et a/b=0,478260...
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