| De la terminale à la fac: langage et exigence en mathématiques |
Vrai ou faux ? |
| |
|
On a donc mis en oeuvre un test portant sur l'implication avec différentes formulations et notations et portant sur une propriété bien connue des élèves et étudiants: a2=b2 si, et seulement si, a= b ou a=-b. On leur demandait si les énoncés donnés étaient vrais ou faux.
Il s'adressait à des élèves de 1ère S (une classe) et Term S (3 classes) ainsi qu'à des étudiants de DEUG 1ère année suivant un module de méthodologie du raisonnement scientifique (4 groupes de TD de deug MIAS, MASS et ENSI).
Dans le tableau suivant est indiqué le pourcentage de bonnes réponses en lycée et à l'université.
| N0 | Enoncés | Lycée | Fac |
| 1 | Si a2=25, alors a=5 ou a=-5 | 98 | 99 |
| 2 | a2=b2, donc a=b | 91 | 100 |
| 3 | Comme a=b, on a a2=b2 | 98 | 100 |
| 4 | a2=25 car a=-5 | 80 | 83 |
| 5 | Si a=5 ou a=-5, alors a2=25 | 98 | 99 |
| 6 | a=-5 car a2=25 | 98 | 98 |
| 7 | Pour que a2=25, il faut que a=-5 | 88 | 96 |
| 8 | a2=25 si a=-5 | 72 | 90 |
| 9 | Pour que a2=25, il est nécessaire que a=-5 | 80 | 99 |
| 10 | a=b donc a2=b2 | 97 | 98 |
| 11 | Comme a2=b2, on a a=b | 89 | 98 |
| 12 | a=-5 ⇒ a2=25 | 91 | 99 |
| 13 | Pour que a2=25, il suffit que a=-5 | 80 | 90 |
L'énoncé 2 " a 2=b 2, donc a=b " est un peu moins réussi en lycée sans doute à cause de l'utilisation de variables et non de valeurs. C'est également le cas de l'énoncé 11.
Les énoncés 3 et 10 "Comme a=b , on a a 2=b 2 " et "a=b donc a 2=b 2" n'ont pas posé de problèmes aussi bien en lycée qu'en fac.
L'énoncé 12 utilisant le signe ⇒ n'est normalement pas connu en lycée, mais le nombre de bonnes réponses reste correcte.
Les énoncés 7, 9 et 13, portant sur les termes "il faut", "il est nécessaire" et "il suffit" ont posés quelques difficultés en lycée, ce qui est normal car peu usités.
La surprise est venue des énoncés 4 et 8: " a 2=25 car a=-5 " et " a 2=25 si a=-5":
les élèves semblent conditionnés par la structure "hypothèse(s)'' puis "conclusion''.
Une autre explication à ces deux erreurs est que les étudiants se sont dits qu'on n'avait pas supposé que a=-5 donc la proposition était fausse. Il n'y a alors pas d'erreur de compréhension des termes, mais de l'exercice proposé. Pour pallier à cela, un test sera fait portant sur une démonstration complète.
La deuxième partie de ce test demandait de trouver les énoncés signifiant la même chose que "On peut dire que a 2=25 puisque a=-5.'' Le tableau suivant indique les pourcentages d'élèves ou étudiants ayant donné l'énoncé correspondant comme réponse, la valeur ε signifie que l'énoncé a été cité, mais de manière marginale (moins de 5% ).
| N0 | Enoncés | Lycée | Fac |
| 1 | Si a2=25, alors a=5 ou a=-5 | ε | ε |
| 2 | a2=b2, donc a=b | 0 | 0 |
| 3 | Comme a=b, on a a2=b2 | ε | ε |
| 4 | a2=25 car a=-5 | 81 | 81 |
| 5 | Si a=5 ou a=-5, alors a2=25 | 10 | 25 |
| 6 | a=-5 car a2=25 | ε | ε |
| 7 | Pour que a2=25, il faut que a=-5 | 13.5 | ε |
| 8 | a2=25 si a=-5 | 53 | 68 |
| 9 | Pour que a2=25, il est nécessaire que a=-5 | ε | ε |
| 10 | a=b donc a2=b2 | 0 | 0 |
| 11 | Comme a2=b2, on a a=b | 0 | 0 |
| 12 | a=-5 ⇒ a2=25 | 59 | 85 |
| 13 | Pour que a2=25, il suffit que a=-5 | 37 | 52 |
70% des étudiants ont donné des réponses incluses dans 3,4,5,8,12,13.
Il faut remarquer également qu'un peu plus de la moitié des lycéens ou étudiants ayant donné faux les énoncés 4 et 8 les ont cependant cités comme ayant la même signification que ``On peut dire que a2=25 puisque a=-5.'' Il semble donc que les énoncés soient compris, mais que les élèves ont pensé que l'on n'avait pas forcément a=-5.
Pour remédier à cette interrogation, nous avons choisi de leur proposer des énoncés se situant dans une démonstration complète.