| De la terminale à la fac: langage et exigence en mathématiques |
Bilan première année |
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Notre travail, cette année, a surtout porté sur un état des lieux, en comparant nos programmes, nos documents d'enseignements, les capacités de nos élèves et de nos étudiants à bien comprendre une démonstration, à utiliser le mot juste pour s'exprimer en mathématiques.
L'étude des manuels est déjà instructive. On remarque par exemple que le vocabulaire utilisé fréquemment pour introduire une définition est: "On dit que... si ....". Ce vocabulaire, très proche de celui de l'implication, ne met pas en évidence le fait qu'une définition est une équivalence. Seuls, quelques auteurs utilisent un langage plus proche de celui de l'équivalence en employant la tournure "signifie que".
On a vu, dans les tests de vocabulaire sur l'implication, combien le choix du mot juste, dans le contexte d'une démonstration, est d'autant plus difficile que les propositions concernées sont équivalentes. Mais aussi, on a pu constater les difficultés des étudiants ou des lycéens à manipuler les rédactions inversées de l'implication.
La résolution de l'équation avec radical a montré l'étendue des difficultés, même pour de "bons" étudiants, à comprendre l'utilité de la vérification.
La variété des solutions proposées par les membres du groupe est également très interessante pour la diversification des pratiques de tous.
Le débat a clarifié l'utilité pédagogique de l'étude préalable de l'ensemble de définition de l'équation.
On a vu aussi la difficulté à bien faire comprendre ce que signifie un raisonnement par équivalence et l'intérêt de mettre en garde les élèves très tôt sur les risques d'erreurs dans ce type de raisonnement, risques encore plus grands au niveau de l'enseignement supérieur, dès que l'on aborde un chapitre où les démonstrations se compliquent: analyse fine ou algèbre linéaire, par exemple. D'où la nécessité de rechercher, de temps à autre au lycée, des situations, comme celle de notre équation avec radical, où une démonstration par équivalence est très délicate.
Dans le supérieur, particulièrement en analyse, l'usage des quantificateurs devient primordial. C'est pour cela que nous avons commencé à travailler sur le thème de l'inversion des quantificateurs, en utilisant des domaines connus, dès la première, comme la définition de la période d'une fonction. Le but est d'améliorer la compréhension de la signification de l'inversion des quantificateurs, en partant de la différence, comprise de tous, entre un passe et une clef ordinaire. La fiche,"Tous pour un, un pour tous", a été réalisée dans ce but. Cette fiche a été un peu expérimentée en fin d'année au lycée mais pas encore à l'université et l'analyse des résultats reste à faire.
Une autre piste de recherche à propos des quantificateurs est de remédier à l'erreur fréquente, au lycée comme à l'université, qui consiste à penser que pour démontrer "pour tout ....", il suffit d'avoir étudié "suffisamment" de cas particuliers.
On peut dresser un bilan des difficultés analysées cette année :