Liste des sujets de lectures dirigées de recherche 20201) Sujet proposé par Mégane Bournissou (megane.bournissou@ens-rennes.fr) (disponible) Titre : Contrôlabilité des systèmes différentiels linéaires en dimension finie Description : On s'intéresse à des systèmes contrôlés, i.e des systèmes dynamiques, dont l'évolution est régie par des équations différentielles, sur lesquels on a un moyen d'agir au travers d'un contrôle. La problématique est la suivante : étant donné un état initial et un état final, est-il possible de trouver un contrôle adéquat permettant au système, partant de l'état initial prescrit d'arriver à l'état final donné au temps final ? On apportera des réponses dans le cas de systèmes linéaires en dimension finie. Référence : Chapitre 1 du livre de Jean-Michel Coron "Control and Nonlinearity" 2) et 3) Sujets proposés par Antoine Mouzard Titre : Bruit blanc et mouvement brownien en dimension 1 (Thibault Favier et Ulysse Gazin) Description : À l'aide des séries de Fourier, on construit en dimension 1 une distribution aléatoire qui s'interprète physiquement comme un bruit blanc. On peut ensuite l'utiliser pour construire le mouvement brownien et étudier ses propriétés. Références : Éléments d'analyse fonctionnelle, F. Hirsch et G. Lacombe Théorie des probabilités, B. Candelpergher ou Titre : Dualité des groupes finis, transformation de Fourier discrète et applications (Valentin Kilian et Romain Périer) Description : Après une étude de la dualité des groupes finis, on étudiera la transformation de Fourier discrète. Plusieurs applications sont envisageables telles que l'étude de marches aléatoires sur Z/nZ ou le problème de la multiplication de grands entiers. Référence : L'algèbre discrète de la transformation de Fourier, G. Peyré 4) et 5) Deux sujets au choix parmi les 3 propositions suivantes sous la direction de Goulwen Fichou Titre : Géométrie 0-minimale (Téofil Adamski et Walid El Ouadghiri) Description ou Titre : Corps réel clos (disponible) Description ou Titre : Théorème de Puiseux (Perrine Jouteur et Florian Tilliet) Description 6) Sujet proposé par Ludovic Marquis (Nicolas Conanec et Julie Reina) Titre : Topologie du point vue différentiel Description : On étudiera le livre de Milnor intitulé "Topology, from the differential viewpoint" (76 pages). Le binôme devra présenter les notions de base du livre et choisir un beau théorème dont la preuve devra être comprise et explicitée. 7) Sujet proposé par Louis Gass (louis.gass@ens-rennes.fr) (disponible) Titre : La formule de Kac-Rice pour les zéros de polynômes trigonométriques aléatoires Description : On étudiera la formule de Kac-Rice qui donne le nombre moyen de zéro d'un polynôme trigonométrique aléatoire. On s'intéressera à diverses asymptotiques autour du nombre de zéros ainsi qu'à leur répartition dans le plan complexe. On envisagera ensuite deux approfondissements possibles : soit généraliser le résultat à des processus stochastiques (des fonctions aléatoires mais pas nécessairement polynomiales), ou dans une direction parallèle étendre ce résultat pour le nombre de zéros dans un ouvert du plan complexe quelconque. 8) Sujet proposé par Quentin Chauleur (Matthieu Cornillault et Antoine Médoc) Titre : Aspects mathématiques et physiques de la mécanique quantique Description : Le but est de comprendre et d'expliciter le lien entre des notions issues de la théorie physique (équation de Schrödinger, notion d'observables, principe d'incertitude d'Heisenberg) et les outils mathématiques associés (espaces de Hilbert, opérateurs auto-adjoints, transformation de Fourier). On pourra aussi bien orienter le sujet vers l'étude des niveaux d'énergies (valeurs propres) de l'équation de Schrödinger, à l'aide de la théorie spectrale, que vers une description numérique des solutions de cette équation pour différents types de potentiel (barrière, oscillateur harmonique, potentiel de Coulomb). Référence : Mathematical Concepts of Quantum Mechanics, Stephen J. J. Gustafson, Israel Michael Sigal, 2011 9) Sujet proposé par Zied Ammari (Thomas Harbreteau et Guillaume Kineider) Titre : Quelques théorèmes célèbres de point fixe et certaines de ses applications Description : Nous proposons d'étudier les fameux théorèmes de point fixe de Banach, de Brouwer et de Schauder ainsi que certaines de ses applications comme le théorème de Perron-Frobenius ou celui de Peano. Le travail consiste en la lecture de deux premiers chapitres du livre "Fixed point theorems and their applications" par Ioannis Farmakis et Martin Moskowitz. Référence : I. Farmakis et M. Moskowitz, Fixed point theorems and their applications 10) Sujet proposé par Harold Favereau (Jad Abou Yassin, Alexi Delmas et Antoine Galet) Titre : Bases de Gröbner Description : Fixons un corps K. L'anneau des polynômes à coefficients dans K, K[X], est un anneau euclidien, et la division euclidienne y est effective. Grâce à cette division, on peut résoudre divers problèmes : savoir si deux idéaux sont égaux ou si un polynôme appartient à un idéal; aussi, calculer des représentants modulo un idéal pour effectuer des calculs dans un anneau quotient; ou encore, calculer des intersections d'idéaux. Si l'on considère désormais un anneau de polynômes à plusieurs variables K[X1,...,Xn], la division euclidienne ne se généralise pas immédiatement. Pour pouvoir résoudre les problèmes évoqués, on introduit la notion de base de Gröbner, qui possède les bonnes propriétés pour pouvoir diviser des polynômes. De plus, les bases de Gröbner sont un des moyens permettant de résoudre des systèmes polynomiaux de manière effective. Le but de cette lecture dirigée est de comprendre cette notion de base de Gröbner, à la fois d'un point de vue théorique (pourquoi elles vérifient les propriétés recherchées) et d'un point de vue pratique (quels algorithmes pour calculer explicitement). Des implémentations des algorithmes étudiées sont possibles (par exemple avec SAGE). En fonction du temps, il sera possible d'approfondir dans différentes directions : voir diverses applications pour le calcul effectif avec les idéaux ; voir comment s'en servir pour résoudre des systèmes polynomiaux ou pour les démonstrations automatiques de théorèmes de géométrie euclidienne ; ou encore pour résoudre des problèmes effectifs de base en théorie des invariants. Références : Cox, Little, O'Shea - Ideals, varieties and algorithms (Chapitre 2 principalement, 3,6,7 pour approfondir) Sturmfels, Paule - Algorithms in invariant theory (Chapitres 1-2) 11) Sujet proposé par Vincent Duchêne (disponible) Titre : Une introduction aux formes normales de Birkhoff Description : La forme normale de Birkhoff d'un système Hamiltonien en dimension finie permet de comprendre de manière fine l'évolution des solutions proches d'un point d'équilibre elliptique. On utilisera les notes de cours de Dario Bambusi, accessibles au lien suivant Notes de cours pour une entrée en matière. Si le temps et la motivation l'autorisent, on pourra voir comment ces idées s'étendent partiellement dans un cadre d'équations aux dérivées partielles reliées à l'évolution des vagues à la surface d'un canal, à travers l'article suivant : Article 12) et 13) Sujets proposés par Miguel Rodrigues Titre : Interpolation entre les espaces de Lebesgue (disponible) Description : L'argument d'interpolation en analyse fonctionnelle permet de déduire d'un résultat obtenu dans 2 espaces (ou dans 2 paires d'espaces) un résultat dans tout espace intermédiaire (ou dans toute paire intermédiaire). On se propose ici d'étudier l'exemple historique --- mais toujours d'une utilité quotidienne pour l'analyste ---, celui de l'interpolation entre les espaces de Lebesgue. On se focalisera sur les premiers théorèmes du genre, ceux de Riesz-Thorin et de Marcinkiewicz, et sur quelques-unes de leurs applications en particulier pour l'analyse des équations aux dérivées partielles. Référence : Chapitre 1 du livre de Joran Bergh et Jorgen Lofstrom, "Interpolation Spaces - An Introduction" complété par "Introduction to Nonlinear Dispersive Equations" de Felipe Linares et Gustavo Ponce ou Titre : Classification topologique des dynamiques locales (Iris Gilabert-Manzanares et Sébastien Moskowitz) Description : Les équations différentielles ordinaires (même en dimension finie) peuvent générer des dynamiques temporelles extrêmement élaborées. L'une des briques de base permettant de les appréhender repose sur la classification topologique de la dynamique proche d'un point d'équilibre. Celle-ci fait écho à une classification topologique globale de la dynamique générée par une équation différentielle linéaire. On se propose d'étudier ce résultat fondamental. Référence : Chapitre 22 du livre de Vladimir Arnol'd, "Ordinary Differential Equations", peut-être complété par certains aspects tirés du chapitre 1 du livre de Terence Tao, "Nonlinear Dispersive Equations - Local and Global Analysis" 14) Sujet proposé par Mercedes Haiech (Jules Besson et Éloan Rapion) Titre : Le théorème des zéros de Hilbert Description : Une des formulations du Nullstellensatz (ou théorème des zéros de Hilbert) est la suivante : Soit k un corps algébriquement clos. Étant donné une famille E de polynômes de k[x1,...,xn], si E n'a pas de solution dans k, alors l'idéal engendré par E contient l'unité. Le but de cette lecture dirigée est de comprendre la démonstration de Zariski de cet énoncé. On pourra étudier les deux preuves proposées dans son article et les différentes manières de formuler le Nullstellensatz. On pourra s'intéresser également à l'interprétation de ce résultat en géométrie algébrique classique. Références : A new proof of Hilbert's Nullstellensatz, O. Zariski Algebraic geometry, D. Perrin Algebra, S. Lang Introduction to commutative Algebra, M.F. Atiyah, I.G. Macdonald 15) Sujet proposé par Bert Wiest (Iago Cottier et Rafik Souanef) Titre : Un critère d'hyperbolicité Description : Un espace métrique est dit delta-hyperbolique, ou hyperbolique au sens de Gromov, si tout triangle avec des côtés géodésiques est, dans un certain sens "mince". Ce critère est souvent difficile à vérifier: en effet, pour l'utiliser, on doit déjà connaître les géodésiques (c.à.d. des chemins les plus courts) entre tout couple de points. Des travaux de Masur et Schleimer ont permis de s'affranchir de cette nécessité, et de donner un critère d'hyperbolicité qui est beaucoup plus facile à vérifier en pratique. Ce critère a mené à des démonstrations très élégantes que certains espaces métriques sont delta-hyperboliques. 16) Sujet proposé par Léo Morin (Jean Gasnier et Maxence Petit) Titre : Calcul fonctionnel pour les opérateurs auto-adjoints Description : Quand A est une matrice symétrique réelle et f une fonction réelle, on peut définir f(A) en diagonalisant cette matrice. Le but est de généraliser ceci à la dimension infinie. On commencera par donner les résultats fondamentaux de théorie spectrale en dimension infinie, puis on verra comment définir f(A) pour un opérateur auto-adjoint A sur un espace de Hilbert. On pourrait ensuite s'orienter vers le théorème spectral ou la définition des mesures spectrales. Référence : M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I : Functional Analysis (Chapitre VII) 17) Sujet proposé par Paul Alphonse (Nathanaël Hassler, Pauline Hellio et Joseph Winspeare) Titre : Entropie et distribution des nombres premiers Description : L'objectif de cette lecture dirigée est de démontrer un résultat de théorie analytique des nombres, le théorème de Mertens, à l'aide des probabilités discrètes, et plus précisément, grâce à la notion d'entropie de Shannon. Référence : I. Kontoyiannis, Some Information-Theoretic Computations Related to the Distribution of Prime Numbers, arXiv:0710.4076 (2008) 18) Sujet proposé par Mario Morán Canón (Robin Kouba et Lucas Pariente) Titre : La combinatoire des variétés toriques Description : Les variétés toriques sont une source importante d'exemples en géométrie algébrique, ainsi qu'un banc de test pour des propriétés que l'on veut étudier plus généralement. La raison est qu'elles possèdent une bonne structure combinatoire qui codifie pas mal de propriétés géométriques et rend plus faciles les calculs algébriques. L'objectif sera de comprendre cette structure combinatoire pour des variétés toriques affines complexes. Dans ce cas, il existe une correspondance bijective entre les variétés toriques affines complexes et une certaine classe de semigroupes. On pourra ensuite voir comment construire des semigroupes de ce type-là à partir de cônes dans R^n et comment lire sur le cône quelques propriétés géométriques de la variété torique associée. Références : Chapitre 1 du livre de David A. Cox, John B. Little et Henry K. Schenck, "Toric varieties", surtout les sections 1.1 et 1.2. Complété peut-être par certaines notions du chapitre 1 du livre de Daniel Perrin "Algebraic Geometry : An Introduction" 19) Sujet proposé par Jérémy Martin (jeremy.martin@ens-rennes.fr) (Jérôme Milot et Victor Thuot) Titre : Principe d'incertitude et Théorème de Logvinenko-Sereda Description : Un principe d'incertitude est une propriété qui limite la concentration simultanée d'une fonction et de sa transformée de Fourier. Le plus connu d'entre eux est le principe d'incertitude d'Heisenberg. Il existe cependant différents types de principe d'incertitude et l'un d'entre eux est donné par la notion de paire annulante. On dit qu'un couple (S, S') d'ensembles mesurables forme une paire annulante si l'unique fonction à support dans S et dont la transformée de Fourier est à support dans S' est la fonction nulle. Le but de cette lecture dirigée sera de comprendre ces notions de principe d'incertitude et d'étudier une preuve du Théorème de Logvinenko-Sereda qui fournit une description exhaustive des paires annulantes (S, S') lorsque S' est une partie bornée. Si nécessaire, il sera tout à fait possible d'étudier, dans un premier temps, les bases de la transformation de Fourier. Référence : Victor Havin, Burglind Jöricke, The uncertainty principle in harmonic analysis |