Liste de sujets de lectures dirigées de recherche 2018



1) Sujet proposé par Christophe Cheverry (Hugo Eulry et Dorian Martino)

Titre : Introduction à l'analyse harmonique

Description : Il s'agit de lire, comprendre et retranscrire le prologue et le premier chapitre du livre d'Elias M. Stein intitulé "Harmonic analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals" qui est une introduction aux notions de fonction maximale, d'intégrale singulière et d'intégrale oscillante.

Référence : Elias M. Stein, Harmonic analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton Mathematical Series, Princeton University Press

2) Sujet proposé par
Christophe Ritzenthaler (statut disponible)

Titre : Invariant equations defining coincident root loci

Description : Il s'agit d'un sujet de théorie des invariants élémentaires où on cherche des polynômes qui sont nuls sur les lieux des formes binaires ayant des multiplicités de racines données (penser au discriminant pour l'existence d'une racine de multiplicité au moins 2). L'article à étudier ne demande presque pas de connaissances préalables et pourra amener à une implémentation des résultats du papier.

Référence : J.V. Chipalkatti, Invariant equations defining coincident root loci, Archiv der Mathematik, 83 (2004) 422-428

3) Sujet proposé par
Frank Loray (Gaspard Tamagny, Gurvan Mével et Brieuc Frenais)

Titre : Le théorème de Poncelet sur les trajectoires du billard dans une ellipse

Description : On étudie le comportement d'une boule dans un billard de forme une ellipse. Pour un cercle, les trajectoires sont ou bien périodiques (après un nombre fini de rebonds, on se retrouve dans les conditions initiales et ça se répète indéfiniment), ou bien les rebonds sont denses dans le cercle. Qu'en est-il d'un bord en forme d'ellipse ?

Référence : Géométrie vol. 2, M. Berger, Cedic/Fernand Nathan/ CNRS 1978

4) Sujet proposé par
Frank Loray (Mathias Déhais et Paul Chemineau)

Titre : Le disque de Poincaré et la géométrie hyperbolique

Description : On peut munir le disque d'une métrique complète à courbure négative. Une géométrie bien différente de la géométrie euclidienne apparaît. On verra comment construire des triangles et de jolis pavages du disque.

Référence : Fuchsian Groups, S. Katok. Chicago Lectures in Maths 1992. et Uniformisation des surfaces de Riemann, H.-P. de St Gervais. ENS-Lyon éditions 2010

5) Sujet proposé par
Frank Loray (Charlie Hérent et Charles Elbar)

Titre : La sphère de Riemann et ses automorphismes

Description : On peut munir la sphère d'une structure de variété complexe. Les transformations de Moebius en forment le groupe d'automorphisme. Elles préservent les cercles et agissent 3-transitivement sur la sphère. Les sous-groupes finis sont des groupes de rotation associés à des polyèdres réguliers.

Référence : Complex Functions, Jones & Singerman, Cambridge University 1987

6) et 7) Sujets proposés par
Françoise Dal'bo (statut disponible)

2 sujets à choisir parmi les 3 propositions suivantes :

Sujet 1 : Initiation  à la géométrie hyperbolique

Sujet 2 : Initiation à la géométrie sphérique

Sujet 3 : Ensemble triadique de Cantor et théorie des nombres (Julian Le Clainche et Hermès Lajoinie)

8) Sujet proposé par
Christophe Mourougane (statut disponible)

Titre : Théorie des fonctions holomorphes

Description : Il s'agira de présenter un chapitre du livre "Theory of Complex Functions" de Reinhold Remmert, dans le prolongement du cours de "fonctions holomorphes", soit en mettant en valeur un aspect historique, soit en présentant des notions non abordées en cours.

9) Sujet proposé par
Christophe Dupont (Xingfeng Sang et Razvan Apredoaei)

Titre : Découpages dynamiques

Description : Dans un triangle, la répétition de subdivisions barycentriques fournit un arbre de triangles décroissants. L'article proposé, écrit par
Amie Wilkinson, met en lumière un phénomène remarquable : l'épaisseur de ces triangles (définie comme le rapport de l'aire par le carré de la longueur du plus grand côté) converge presque sûrement vers un nombre universel. Il s'agit de comprendre la démonstration, et de s'initier aux outils qu'elle utilise, comme les produits aléatoires de matrices et les théorèmes limites du type loi forte des grands nombres. Ce sujet est donc à l'intersection de la géométrie et des probabilités.

Référence : What are Lyapunov exponents, and why are they interesting ? Bulletin of the AMS 54 (2017), 79-105,
pdf
L'article (en anglais) semble accessible (les 11 premières pages). La suite peut être abordée si le groupe a fini l'objectif indiqué dans le résumé.

10) Sujet proposé par
Adrien Clarenne (Thomas Chaub, Pierre Le Scornet et Nicolas Orsini)

Titre : Battage de cartes

Description : On étudie un modèle de battage de cartes. On cherche en particulier à déterminer le plus précisément possible le nombres de battages nécessaires pour obtenir un mélange satisfaisant du paquet. Il s'agira notamment de détailler certaines preuves, de juger la pertinence du modèle choisi. Des simulations peuvent êtres faites pour vérifier ou illustrer certains résultats.

11) Sujet proposé par
Max Bauer (Thomas Crozon et Matthieu Pauron)

Titre : L'espace de Teichmüller d'une surface

Description : Il s'agit de décrire les structures complexes sur une surface.

Référence : An introduction to Teichmüller spaces de Y. Imayoshi, M. Tanguchi. Les chapitres 1.1 et 1.2 traitent la cas du tore et le chapitre 1.3 généralisent pour une surface arbitraire.

12) Sujet proposé par
San Vu Ngoc (Paul Rosa et Julien Dardennes)

Titre : Géométrie symplectique et le théorème de Darboux

Description : La géométrie symplectique donne une formulation moderne de nombreux problèmes, en particulier issus de la physique, et permet de nombreuses généralisations. Le résultat de base dans la théorie est le théorème de Darboux qui montre que toutes les structures symplectiques sont "localement identiques" entre elles.

Référence : chapitre 1 du livre: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics (Modern Birkhauser Classics) Helmut Hofer, Eduard Zehnder

13) Sujet proposé par
San Vu Ngoc (Antoine Bereau, Paul Laubie et Gaetan Leclerc)

Titre : Espaces d'espaces métriques

Description : Comment estimer la distance entre différentes parties d'un espace métrique, ou même entre deux espaces métriques ? Ce chapitre aborde plusieurs réponses, dont la fameuse distance de Gromov-Hausdorff (utilisée aussi pour la "reconnaissance de formes").

Référence : chapitre 7 du livre: A Course in Metric Geometry, Dmitri Burago, Yuri Burago, Sergei Ivanov

14) Sujet proposé par
San Vu Ngoc (Olivier Bernard et Jean-Baptiste Fermanian)

Titre : Spectre et pseudo-spectre

Description : Pour des grandes matrices non symétriques, la notion de spectre n'est pas forcément la plus adaptée pour comprendre la "dynamique" (exponentielle de matrice). Une technique assez récente consiste à introduire un pseudo-spectre, qu'on peut même étendre à des opérateurs en dimension infinie. Le pseudo-spectre explique aussi pourquoi les ordinateurs ont tant de mal à calculer les valeurs propres de matrices non symétriques ...

Référence : chapitre 1 du livre : Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators Lloyd Nicholas Trefethen, Mark Embree