Liste de sujets de lectures dirigées de recherche



1) Sujet proposé par Mihai Gradinaru (Rémi Cornillet, Théo Mangenot, Bastien Jean)

Titre : Marche aléatoire simple sur l'ensemble des entiers Z

Description : On s'intéresse au comportement de la marche aléatoire simple: partant de l'origine, que peut-on dire de la probabilité de retour en ce point ? Le théorème de Polya affirme que presque sûrement on repasse une infinité de fois par l'origine. Une démonstration de ce résultat sera étudiée. D'autres propriétés pourront également être étudiées.

Référence : Cette lecture dirigée de recherche sera basée sur un ou deux paragraphes des livres de Grimmett et Stirzaker "Probability and Random Processes" ou Resnick "Adventures in Stochastic Processes"

2) Sujet proposé par
Mihai Gradinaru (Silvère Nédelec, Étienne Remonté, Louis Herr)

Titre : Processus de branchement de Galton-Watson

Description : Une particule donne naissance à un nombre aléatoire de particules de même type. A leur tour, chaque particule de la descendance donne naissance, indépendamment de ses congénères, à un nombre aléatoire de particules. La loi de reproduction est toujours la même. On veut étudier le comportement de cette population en temps long.

Référence : Cette lecture dirigée de recherche sera basée sur un ou deux paragraphes des livres de Grimmett et Stirzaker "Probability and Random Processes" ou Resnick "Adventures in Stochastic Processes"

3) Sujet proposé par
Dominique Cerveau

Titre : Calcul des variations

Description : Le sujet tourne autour du calcul des variations avec la lecture du chapitre 7 du livre de Richard Courant et Herbert Robbins intitulé "Qu'est-ce que les mathématiques". On pourra choisir soit le point de vue historique, soit le point de vue expérimental (expériences sur les films de savon), soit un point de vue plus théorique sur l'un des sujets développés dans ce chapitre (par exemple le problème de Didon ou le baba sur les surfaces minimales).

4) Sujet proposé par
Bernard Delyon (Nicolas Masson, Pierre-Emmanuel Clet)

Titre : Codage et probabilités

Description : Le principe initial du codage est le suivant: Pour coder un texte, on traduit chaque caractère en une suite de bits (le code), et l'idée fondamentale est d'attribuer aux caractères les plus fréquents les suites les plus courtes, comme en alphabet Morse. Il existe un algorithme qui permet de trouver simplement le code optimal, c'est le code de Huffman.

Référence : Chap. 5 du livre de Cover et Thomas, "Elements of information theory"

5) Sujet proposé par
Karim Bekka (Antoine Diaz, Pierre De Roubin, Vincent Béhani)

Titre : Le théorème de représentation conforme et applications

Ce théorème dit que tout domaine simplement connexe différent du plan complexe est isomorphe au disque unité ouvert. Comme applications, on étudiera :
- Le théorème de Carathéodory qui donne une condition sur le bord du domaine pour pouvoir étendre cet isomorphisme en un homéomorphisme entre les adhérences
- la solution du problème de Dirichlet pour des domaines simplement connexes

Référence : J. BAK et D. Newman, Complex Analysis, UTM Springer-Verlag

6) Sujet proposé par
Karim Bekka (Jérôme Guérizec, Clémentine Lemarié-Rieusset)

Titre : Introduction aux fonctions holomorphes de plusieurs variables et domaines d'holomorphie

Description : Comme pour une fonction d'une variable, une fonction de plusieurs variables est dite holomorphe sur un ouvert si elle est C-différentiable en tout point de cet ouvert. Beaucoup de résultats se généralisent dans ce cas en remplaçant la dérivée par les dérivées partielles et en jonglant avec les multi-indices mais il y a aussi des différences spectaculaires entre le cas d'une variable et celui de plusieurs variables comme le phénomène d'extension de d'Hartogs.

Référence : R. Gunning, Introduction to holomorphic functions of several variables

7) Sujet proposé par
Karim Bekka (Émilien Manent, Théo Untrau, Thomas Cavallazzi)

Titre : Introduction à la théorie des singularités: les applications stables du plan vers le plan

Une singularité est dite stable si elle est conservée par des petites perturbations. Le but de ce travail sera de comprendre les notions de singularités et d'applications stables et le théorème de Whitney qui permet de caractériser les applications stables du plan vers le plan.

Référence : Y.-C. Lu, Singularity theory and an introduction to catastrophe theory, UTM Springer-Verlag (2 premiers chapitres)

8) Sujet proposé par
Bernard Lestum (Sarah Timhadjelt, Tsung-Hsuan Tsai)

Titre : Une valuation discrète est unique

Description : Une valuation discrète mesure le degré d'annulation d'une fonction ou la divisibilité d'un entier par un nombre premier donné. On lui associe un corps complet. Un théorème énonce que la valuation est uniquement déterminée par ce corps. C'est une conséquence du lemme d'approximation et du lemme de Hensel.

Référence : Cours de Matthew Morrow

9) Sujet proposé par
Ismael Bailleul (François Ernoult, Kevin Guillon)

Titre : Mesure de Haar, construction et applications

Description : L'objet de la lecture dirigée sera de comprendre pourquoi tout groupe topologique localement compact admet une sorte de "mesure de Lebesgue" naturelle, invariante par translation par tout élément du groupe. On verra aussi, et surtout, à quoi peut servir une telle mesure.

10) Sujet proposé par Yvan Ziegler (yvan.ziegler@univ-rennes1.fr) (Pierre Houedry, Rémi Moreau, Antoine Sabut)

Titre : Nombres p-adiques et lemme de Hensel

Description : Dans un premier temps il s'agira de construire le corps Qp des nombres p-adiques et d'en étudier les propriétés de base. Nous aborderons ensuite le lemme de Hensel, une des pierres angulaires du monde p-adique. On pourra le démontrer et éventuellement se pencher sur quelques unes de ses très nombreuses applications.

Référence : A. Robert, A course in p-adic analysis

11) Sujet proposé par Yvan Ziegler (yvan.ziegler@univ-rennes1.fr) (David Xu, Charles Haquet, Clarence Kineider)

Titre : Cryptographie à partir de courbes elliptiques

Description : L'objectif de cette lecture dirigée de recherche sera d'aborder à la fois des bases en cryptographie et en géométrie algébrique pour pouvoir comprendre et expliciter le fonctionnement de la cryptographie à base de courbes elliptiques.

Référence : J.H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves

12) Sujet proposé par
Zied Ammari (Antoine Leblond, Charlie Dworazeck, Thibault Modeste)

Titre : Répartition stochastique des nombres premiers

Description : Il s'agit d'une introduction aux méthodes probabilistes pour l'étude de répartition des nombres premiers. Des résultats récents comme ceux de Goldston, Pintz et Yildirim sont évoqués.

13) Sujet proposé par
Taoufik Hmidi (Alexandre Nicolle, Mickael Sousa, Thibault Richard)

Titre : Equation de Schrodinger linéaire

Description : Il s'agit d'analyser des propriétés qualitatives et quantitatives de l'équation de Schrodinger non stationnaire. On veut essentiellement étudier le phénomène de dispersion et ses conséquences dans les effects régularisants. Parmi les outils que l'on va utiliser, on cite la transformée de Fourier sur les distributions tempérées et des arguments d'interpolation et de dualité.

Référence: Felipe Linares, Gustavo Ponce, Introduction to nonlinear dispersive equations

14) Sujet proposé par
Valérie Monbet et Bernard Delyon (Iskander Legheraba, Emilie Tezenas)

Titre : Prédire le grade de stéatose hépatique sans biopsie du foie

Description

15) Sujet proposé par
Nicolas Seguin

Titre : Décomposition en valeurs singulières et compression d'image

Description : La décomposition en valeurs singulières des matrices est une factorisation classique des matrices rectangulaires. On peut de plus relier l'annulation des plus petites des valeurs singulières avec la notion d'approximation de matrice au sens des moindres carrés. Cette constatation permet l'utilisation de cette décomposition dans de nombreux domaines. On appliquera cette technique à la compression d'images, une mise en oeuvre en Scilab pourra être envisagée.

Référence: G. Allaire, S.M. Kaber, Algèbre linéaire numérique, Cours et exercices, Ellipses, Paris 2002

16) Sujet proposé par
Miguel Rodrigues

Titre : Interpolation entre les espaces de Lebesgue

Description : L'argument d'interpolation en analyse fonctionnelle permet de déduire d'un résultat obtenu dans 2 espaces (ou dans 2 paires d'espaces) un résultat dans tout espace intermédiaire (ou dans toute paire intermédiaire). On se propose ici d'étudier l'exemple historique - mais toujours d'une utilité quotidienne pour l'analyste -, celui de l'interpolation entre les espaces de Lebesgue. On se focalisera sur les premiers théorèmes du genre, ceux de Riesz-Thorin et de Marcinkiewicz, et quelques-unes de leurs applications.

Référence : Chapitre 1 du livre de Jöran Bergh et Jörgen Löfström, Interpolation Spaces - An Introduction

17) Sujet proposé par
Miguel Rodrigues (Paul Blochas, Younes Zine, Alain Baustein)

Titre : Classification topologique des dynamiques locales

Description : Les équations différentielles ordinaires (même en dimension finie) peuvent générer des dynamiques temporelles extrêmement élaborées. L'une des briques de base permettant de les appréhender repose sur la classification topologique de la dynamique proche d'un point d'équilibre. Celle-ci fait écho à une classification topologique globale de la dynamique générée par une équation différentielle linéaire. On se propose d'étudier ce résultat fondamental.

Référence : Chapitre 22 du livre de Vladimir Arnol'd, Ordinary Differential Equations, peut-être complété par certains aspects tirés du chapitre 1 du livre de Terence Tao, Nonlinear Dispersive Equations - Local and Global Analysis

18) Sujet proposé par
Mark Baker (Maxence Brevard, Pierre Le Barbenchon)

Titre : Classification des surfaces compactes

Description : L'objectif de la lecture dirigée est de classifier les surfaces compactes à l'aide des opérations de découpage et recollement et de somme connexe.

Référence : W.S.Massey, Algebraic Topology: An Introduction