Liste de sujets de lectures dirigées de recherche 2019



1) Sujet proposé par Ludovic Marquis (Mathieu Vallée et Michael Mabelle)

Titre : Géométrie sur les variétés

Description : Il s'agira d'abord de comprendre ce qu'est une variété (exemples classiques: la sphère, le tore, le tore à plusieurs anses, etc), puis de comprendre les géométries analogues à la géométrie euclidienne, notamment la géométrie hyperbolique, et enfin de comprendre comment on peut géométriser une variété de dimension 2 ou 3.

Références :

1. Three-Dimensional Geometry and Topology, William P. Thurston, Silvio Levy (Livre court basé sur les notes ci-dessous)
2.  Geometry and topology of three-manifolds. By William Thurston (Notes uniquement disponible sur internet: http://library.msri.org/books/gt3m/)

2) Sujet proposé par
Antoine Mouzard (Christopher Langrenez et Jérémy Zurcher)

Titre : Bruit blanc et mouvement brownien en dimension 1

Description : À l'aide des séries de Fourier, on construit en dimension 1 une distribution aléatoire qui s'interprète physiquement comme un bruit blanc. On peut ensuite l'utiliser pour construire le mouvement brownien et étudier ses propriétés

Références : Éléments d'analyse fonctionnelle, F. Hirsch et G. Lacombe et Théorie des probabilités, B. Candelpergher

3) et 4) Deux sujets au choix parmi les quatre propositions suivantes sous la direction de
Frank Loray

Titre : Le théorème de Poncelet sur les trajectoires du billard dans une ellipse

Description : On étudie le comportement d'une boule dans un billard en forme d'ellipse. Pour un cercle, les trajectoires sont ou bien périodiques (après un nombre fini de rebonds, on se retrouve dans les conditions initiales et ça se répète indéfiniment), ou bien les rebonds sont denses dans le cercle. Qu'en est-il d'un bord en forme d'ellipse ?

Référence : Géométrie vol. 2, M. Berger, Cedic/Fernand Nathan/ CNRS 1978

ou

Titre : Le disque de Poincaré et la géométrie hyperbolique (Issa Dabo et Theo Gherdaoui)

Description : On peut munir le disque d'une métrique complète à courbure négative. Une géométrie bien différente de la géométrie euclidienne apparaît. On verra comment construire des triangles et de jolis pavages du disque.

Référence : Fuchsian Groups, S. Katok. Chicago Lectures in Maths 1992. et Uniformisation des surfaces de Riemann, H.-P. de St Gervais. ENS-Lyon éditions 2010

ou

Titre : La sphère de Riemann et ses automorphismes (Quentin Lardé et Charles Pincon)

Description : On peut munir la sphère d'une structure de variété complexe. Les transformations de Moebius en forment le groupe d'automorphisme. Elles préservent les cercles et agissent 3-transitivement sur la sphère. Les sous-groupes finis sont des groupes de rotation associés à des polyèdres réguliers.

Référence : Complex Functions, Jones & Singerman, Cambridge University 1987

ou

Titre : Itérarion de polynômes et ensembles de Julia (Elie Odin et Sacha Voynot)

5) Sujet proposé par
Zois Moitier (Vincent Malot et Tanguy Medevielle)

Titre : Échangeur polynomial

Description : On peut associer aux graphes de n polynômes de la variable réelle au voisinage de zéros une permutation. Le but de cette lecture dirigée de recherche est d'étudier la structure de ces permutations.

Référence : (disponible sur la page personnel d'Étienne Ghys) :
[1] Étienne Ghys, Intersecting curves (variation on an observation of Maxim Kontsevich). Amer. Math. Monthly 120 (2013), no. 3, 232-242
[2] Étienne Ghys, A singular mathematical promenade. ENS Éditions, Lyon, 2017. viii+302 pp

6) Sujet proposé par
Mihai Gradinaru (Boammani Lompo et Sibylle Marcotte)

Titre : Probabilités des événements atypiques : le théorème de Cramer de grandes déviations

Description : On étudie la suite des lois de la moyenne empirique associée à des variables aléatoires i.i.d. d'espérance m. On veut estimer la probabilité que cette moyenne empirique au lieu de se situer autour de m elle se trouve loin de m. Le théorème de Cramer explique que cette probabilité décroît exponentiellement en indiquant le taux exact. Des notions de base de probabilités, d'analyse convexe et des estimations fines sont à la base de la preuve de ce théorème.

Référence : Le paragraphe du même nom dans le livre de Deuschel-Stroock (entre 7 et 14 pages)

7) Sujet proposé par
Thibault Pautrel (Sylvain Procope-Mamert et Martin Jalard)

Titre : Méthode de Stein en dimension 1  

Description : On étudiera la méthode de Stein ainsi que différentes distances pour les mesures de probabilité (variation totale, Wasserstein, Kolmogorov). En guise d'application, la démonstration du théorème de Berry-Esseen pourra être étudiée. 

Référence : Livre de Nourdin-Pecatti "Normal approximation with Malliavin calculus" (CUP)

8) Sujet proposé par
Benoît Claudon (Sophie Jaffard et Thomas Bouchet)

Titre : Formes quadratiques ou Théorème de Dirichlet

Description : Les étudiants pourront choisir entre deux parties du livre "Cours d'arithmétique" de Jean-Pierre Serre; la première partie traite des formes quadratiques (sur différents corps) et pourra être l'occasion de se familiariser avec la notion de nombres p-adiques (éventuellement jusqu'au théorème de Hasse). La deuxième partie du livre est plus analytique : on pourra y étudier la démonstration du théorème de Dirichlet ou alors étudier les formes modulaires (la cinquième opération de l'arithmétique)

Référence : Cours d'arithmétique, Jean-Pierre Serre

9) Sujet proposé par
Benard Delyon (Guillaume Leloup et Joseph Hachem)

Titre : Propriétés paradoxales de l'ensemble de Cantor

Référence : Counterexamples in analysis, B.R. Gelbaum et J.M.H. Olmsted, Holden-Day, 1964 (Chapitre 8)

10) Sujet proposé par
Vincent Duchêne (Raphael Ravasse et Gabriel Mastrilli)

Titre : La méthode de concentration-compacité

Description : L'espace des fonctions intégrables n'est pas compact. Le résultat de "concentration-compacité" de P.-L. Lions permet de caractériser ce manque de compacité, en détaillant les possibles scénarios qui décrivent le comportement asymptotique d'une (sous)-suite de fonctions intégrables de même masse. Cela s'est avéré extrêmement utile dans divers domaines, et en particulier pour montrer l'existence d'ondes solitaires de certaines EDPs non-linéaires et dispersives

Référence : Papier original de P.-L. Lions : The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations; I. The locally compact case. (1984)

11) Sujet proposé par
François Maucourant (Ruben Chenevat et Noé Malais)

Titre : Points périodiques et fonction zêta des endomorphismes linéaires du tore

Description : Il s'agit de lire et de comprendre un article de Baake, Roberts et Weiss sur le dénombrement des points périodiques des endomorphismes linéaires du tore, en particulier la formule pour la fonction zêta dynamique. Cet article est très élémentaire et accessible (mis à part l'introduction).

Référence : 
Article

12) et 13) Deux sujets au choix parmi les trois propositions suivantes sous la direction de San Vu Ngoc

Titre : Géométrie symplectique et le théorème de Darboux (Léo Daures et Vincent Louatron)

Description : La géométrie symplectique donne une formulation moderne de nombreux problèmes, en particulier issus de la physique, et permet de nombreuses généralisations. Le résultat de base dans la théorie est le théorème de Darboux qui montre que toutes les structures symplectiques sont "localement identiques" entre elles

Référence : chapitre 1 du livre: Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics (Modern Birkhauser Classics) Helmut Hofer, Eduard Zehnder

ou

Titre : Espaces d'espaces métriques

Description : Comment estimer la distance entre différentes parties d'un espace métrique, ou même entre deux espaces métriques ? Ce chapitre aborde plusieurs réponses, dont la fameuse distance de Gromov-Hausdorff (utilisée aussi pour la "reconnaissance de formes")

Référence : chapitre 7 du livre: A Course in Metric Geometry, Dmitri Burago, Yuri Burago, Sergei Ivanov

ou

Titre : Spectre et pseudo-spectre (Fabrice Etienne et Nathanael Munier)

Description : Pour des grandes matrices non symétriques, la notion de spectre n'est pas forcément la plus adaptée pour comprendre la "dynamique" (exponentielle de matrice). Une technique assez récente consiste à introduire un pseudo-spectre, qu'on peut même étendre à des opérateurs en dimension infinie. Le pseudo-spectre explique aussi pourquoi les ordinateurs ont tant de mal à calculer les valeurs propres de matrices non symétriques ...

Référence : chapitre 1 du livre : Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators Lloyd Nicholas Trefethen, Mark Embree

14) Sujet proposé par
Mercedes Haiech (Nicolas Moench et Arnaud Hautecoeur)

Titre : Introduction aux nombres p-adiques

Description : Le sujet consiste à se familiariser avec la notion de complétion d'un anneau/espace topologique. On s'intéressera surtout aux complétions p-adiques de Q. Après la construction des nombres p-adiques Qp plusieurs suites sont envisageables : on pourra étudier la topologie de Qp et la comparer à celle de R ou étudier les entiers p-adiques et voir une construction plus générale de la complétion d'un anneau topologique (ce qui pourra ou non faire intervenir un peu de théorie des catégories)

Références : 
p-adic Analysus compared with Real, Sveltana Katok
Commutative algebra, Matsumura
Algèbre commutative, Lafon
Introduction to commutative algebra, Atiyah & MacDonald

15) Sujet proposé par
Bert Wiest (Antoine Dequay et Juliette Veuillez-Mainard)

Titre : Le groupe de Thompson

Description : Le groupe F de Thompson est célèbre parce qu'il est facile à définir, il possède des propriétés surprenantes, et certaines questions le concernant sont toujours ouvertes. Je propose de lire le début (jusqu'à 10.11) du Chapitre 10, "Thompson's group" du livre "Groups, Graphs and Trees" de John Meier. Idéalement, on pourra aussi consulter quelques extraits du l'article "Notes on Richard Thompson's groups F and T", de J.W.Cannon, W.J.Floyd and W.R.Parry.

16) Sujet proposé par
Isabelle Gruais

à choisir parmi les quatre propositions suivantes :

Sujet 1: Functions of Bounded Variations,
Paragraphe 2

Sujet 2: A mathematical introduction to robotic manipulation: Rigid body motion,
Paragraphes 2.1-2.4

Sujet 3: Acoustics of porous media with inner resonators,
Référence

Sujet 4: Topologie de l'espace des distributions,
Paragraphe 1.7