Résumé du Projet



    Un système Hamiltonien est dit intégrable s'il a suffisamment de lois de conservation i.e d'intégrales premières comme l'énergie, le moment cinétique, etc ...
    Depuis cinquante ans, il existe une grande variété de résultats concernant les systèmes intégrables. En particulier, on observe qu'ils sont localement «tous semblables» dans le sens où le mouvement d'un tel système est (en dehors des singularités) un mouvement quasi périodique sur des tores. Par contre, les systèmes non-intégrables sont «tous différents» et la nature de leur non intégrabilité est spécifique dans chaque cas particulier. Notre équipe développe des méthodes théoriques et pratiques des théories de l'intégrabilité complexe et réelle (existantes déjà depuis Poincaré).
    Un des objectifs de notre projet est de favoriser l'interaction entre ces méthodes tout en respectant les particularités de chacune. Parmi nos techniques, nous disposons du théorème de Morales et Ramis qui permet de montrer que certains systèmes Hamiltoniens ne sont pas intégrables en utilisant un groupe de Galois différentiel, ainsi que de l'approche de Ziglin basée sur le groupe de monodromie et des méthodes récentes de calcul formel pour l'étude des équations différentielles. D'autre part notre étude sera basée sur les techniques perturbatives avancées comme la théorie KAM, la théorie  des variétés invariantes des objets hyperboliques, les méthodes de moyennisation, etc ...

    Voici les objectifs que nous souhaitons poursuivre dans notre projet :

  1. Trouver les applications de la théorie de Morales-Ramis dans le cas des systèmes hamiltoniens avec plus de deux degrés de liberté.
  2.  Généraliser le théorème de Morales-Ramis au cas de systèmes non-hamiltoniens.
  3.  Etudier les équations variationnelles à coefficients méromorphes, par exemple les fonctions de Weierstrass.
  4.  Etudier les méthodes perturbatives purement réelles.
  5.  Classifier des potentiels homogènes intégrables avec  au moins trois  degrés de liberté.
  6.  Développer les méthodes constructives d'étude des équations variationnelles d'ordre supérieur.
  7.  Etablir la place de la théorie de Malgrange du groupoïde de Galois dans la théorie de la non-intégrabilité.
  8.  Déterminer le lien entre l'analyse d'intégrabilité de Yoshida, basée sur le calcul des exposants de Kovalevski, et le problème des configurations centrales dans le problème des n corps.
  9.  Ecrire clairement ce que l'on sait sur la non-existence d'intégrales premières pour le problème des trois corps. Etudier la non-existence d'invariants intégraux.
  10.  Poursuivre les études globales d'obstruction topologique à l'existence d'intégrales premières en classe de régularité donnée.

    Un enjeu de ce projet sera aussi la diffusion de ces techniques à d'autres utilisateurs proches de la mécanique, la physique et l'astronomie.



Nous encourageons les jeunes chercheurs et chercheuses à assister à nos activités.
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