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Un théorème de préparation pour les feuilletages.



Ce travail est initialement motivé par le problème suivant. Étant donné un germe de champ de vecteur analytique à l'origine du plan complexe

$\displaystyle X=f(x,y)\partial_x+g(x,y)\partial_y,\ \ \ f,g\in\mathbb{C}\{x,y\},$

trouver un système de coordonnées analytiques locales dans lequel les coefficients du champ de vecteur sont les plus simples possibles. C'est en essayant de comprendre un résultat de J. Écalle allant dans cette direction (voir plus bas) que j'ai découvert la chose suivante. Dans ce genre de problème, chercher à simplifier les coefficients revient souvent à chercher un représentant (dans la classe de conjugaison) admettant un prolongement analytique maximal avec le mois de singularités possibles. Par exemple, lorsque l'on cherche une forme normale polynomiale, on cherche en fait un représentant admettant un prolongement analytique (ou plutôt méromorphe) sur tout le plan projectif complexe ! Les formes normales de Dulac sont les modèles polynomiaux qui admettent le moins de singularités, c'est à dire dont le feuilletage global est le plus simple. De la même manière, la forme normale de Bogdanov-Takens pour les singularités nilpotentes, dont l'analyticité a été prouvée par E. Strozyna et H. Zoladek, est polynomiale dans la variable $ y$ avec degré minimal : le champ de vecteur admet un prolongement analytique sans fin le long de l'axe vertical, régulier dans la partie finie et avec un pôle simple à l'infini. Ce genre de résultat se démontre habituellement par un procédé itératif de changements de coordonnées (analytiques ou polynomiales) dont il faut contrôler la convergence. C'est souvent long et difficile. L'idée que j'ai eu est de redémontrer ces théorèmes de manière géométrique, en construisant le prolongement analytique par recollement de variétés complexes, puis par uniformisation.

Le premier résultat que j'obtiens est un "Théorème de Préparation" pour les feuilletage de codimension $ 1$. Notons $ (\underline{z},w)$ la variable de $ \mathbb{C}^{n+1}$ avec $ \underline{z}=(z_1,\ldots,z_n)$, $ n\ge1$.

Théorème 1 : Soit $ \Theta$ un germe de $ 1$-forme holomorphe

$\displaystyle \Theta=f_1(\underline{z},w)dz_1+\cdots+f_n(\underline{z},w)dz_n+g(\underline{z},w)dw, $

$ f_1,\ldots,f_n,g\in\mathbb{C}\{\underline{z},w\}$, satisfaisant la condition d'intégrabilité de Frobenius $ \Theta\wedge d\Theta=0$ et soit $ \mathcal F$ le germe de feuilletage (singulier) induit au voisinage de l'origine. Supposons que $ g(\underline{0},w)$ s'annule à l'ordre $ k\in\mathbb{N}^*$ en 0. Alors, après changement analytique de coordonnée $ w:=\phi(\underline{z},w)$, le feuilletage $ \mathcal F$ est défini par une $ 1$-forme du type

$\displaystyle \widetilde{\Theta}=P_1(\underline{z},w)dz_1+\cdots+P_n(\underline{z},w)dz_n+Q(\underline{z},w)dw $

pour des polynômes de Weierstrass $ P_1,\ldots,P_n,Q\in\mathbb{C}\{\underline{z}\}[w]$ de degrés $ \le k$ avec $ Q$ unitaire.


La preuve peut se résumer dans la figure suivante :

Après normalisation, le feuilletage est défini sur un voisinage tubulaire de la droite projective verticale $ L=\{\underline z=\underline 0\}$ dans $ \mathbb{C}^n\times\overline{\mathbb{C}}$, il est régulier et transverse à $ L$ en dehors de l'origine.

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Mise à jour : mars 2004