Décomposition de l'ensemble $a=\{x: \mathbb{P}_x(\tau_B<\infty)>0\}$
en une réunion dénombrable d'ensembles sur lesquels le noyau est borné.
Solution probabiliste du problème de Dirichlet
Décomposition de Riesz d'une fonction sur-harmonique
Décomposition de Riesz d'une mesure sur-harmonique
Rappel sur les matringales équi-intégrables
Pour tout mesurable $B$, $L_B$ est sur-harmonique; sa partie
harmonique est $H_B$.
En outre la surmartingale $(L_B(X_n))$ et la martingale $(H_B(X_n))$ convergent
presque sûrement vers l'indicatrice de l'événement $\{\eta(B)=+\infty\}$
Il y une bijection entre les variables aléatoires bornées invariantes
et les fonctions harmoniques bornées
On équivalence entre les affirmations: toute fonction harmonique bornée est constante et la tribu de invariantes est triviale
Rappel sur les martingales renversées
La chaîne de Markov vérifie la propriété de découplage
asymptotique si et seulement si la tribu asymptotique est invariante
Équivalence entre i) trivialité de la tribu des invariants de la chaîne spatio-temporelle, ii) trivialité de la tribu asymptotique de la chaîne
spatiale, iii) oubli de la condition initiale, iv) constance des
fonctions spatio-temporelles harmoniques bornées.
Définition de $\phi$-irréductibilité et $\phi$-réccurence
Décomposition du noyau markovien en une partie absolument continue
et une partie singulière par rapport à $\phi$
Les densités de Radon-Nikodym de la partie absolument continue des $P^n(x, \cdot)$ sont conjointement mesurables
Il existe de versions conjointement mesurables des densités $p_n$ qui
vérifient la minoration de Chapman-Kolmogorov
Si $A$ est tel que $\phi(A)>0$ et pour tout mesurable $B\subseteq A,
avec $\phi(B)>0 on a $L_B(x)>0$ pour tout $x\in A$ alors
$A$ contient un $C$-ensemble
Toute chaîne $\phi$-récurrente adment une mesure invariante $\pi$, toute autre
mesure invariante est un multiple de $\pi$ et $\phi$ est absolument continu par
rapport à $\pi$
Supposons une chaîne $\phi$-récurrente admettant une mesure
invariante $\pi$. Alors la chaîne est $\pi$-récurrente
Exemple d'application des théorèmes
Énoncé du théorème du rapport des sommes ergodiques