M1 MF — Analyse Hilbertienne

Master 1 — Mathématiques Fondamentales
1er Semestre 2022/2023

Objectif

Se familiariser avec les bases de la théorie des espaces de Hilbert et de Banach.

Description

Dans ce cours, il sera question d'analyse fonctionnelle, c’est-à-dire de l’étude des propriétés topologiques d’espaces vectoriels de fonctions et des opérateurs sur de tels espaces. Il s’agit d’une branche omniprésente des mathématiques qui a pris son essor au début du XX° siècle.

Les connaissances fondamentales de Licence relatives à la topologie et à la théorie de la mesure sont essentielles et feront l’objet de brefs rappels préliminaires. Nous travaillerons principalement sur des espaces de Banach et de façon plus approfondie sur le cas particulier des espaces de Hilbert. Nous évoquerons brièvement quelques espaces vectoriels topologiques plus généraux, tels que les espaces de Fréchet, utiles pour aborder ultérieurement la théorie des distributions. L’utilisation de bases hilbertiennes intervient de façon efficace dans la résolution de très nombreux problèmes (e.g. théorie de Fourier).

Quelques notions importantes du cours :

  • les espaces $L^p$ : leur topologie, la convolution, les théorèmes de densité
  • les principaux théorèmes qui découlent de la topologie : théorème de Baire, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l’application ouverte et du graphe fermé, théorème d’Ascoli
  • la dualité dans les espaces de Banach : théorème de Hahn-Banach et applications, convergence faible, espaces réflexifs
  • la dualité dans les espaces de Hilbert : théorème de projection, théorème de représentation de Riesz, théorie de Lax-Milgram
  • quelques rudiments de théorie spectrale : diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints sur un Hilbert

Informations techniques

1er semestre 2022/2023 : à venir

Les informations d’organisation et les documents de travail sont disponibles sur Moodle.

Petit album de famille

Joseph Fourier (1768 - 1830)
David Hilbert (1862 - 1943)
Maurice Fréchet (1878 - 1973)
Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941)
Frigyes Riesz (1880 - 1956)
Stefan Banach (1892 - 1945)
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