Equations aux Dérivées Partielles
Les exemples suivant d'approximation de la solution d'une EDP sont basée sur des méthodes de différences finies : Si l'inconnue u(t,x) dépend de 2 variables réelles x (variable d'espace) et t>0 (le temps) on cherche à calculer seulement certaines valeurs u(tk,xn) de u en certains points de l'espace xn et pour certaines valeurs tk du temps qui sont supposées “quadriller” les intervalles de valeurs de t et x avec des précisions dt et dx . Les valeurs des dérivées apparaissant dans l'équation différentielle (ou au dérivées partielles) sont donc remplacées par les quotients différentiels entre les points tk et tk+1 ou xn et xn-1 suivant le cas, par exemple on peut effectuer les approximations :
On obtient alors une formule de récurrence permettant de calculer les u(tk, ...) par récurrence sur k, à condition de connaître une donnée initiale u(0,xn) pour n=...;-1;0;1;.... Si dt et dx sont suffisament petits on peut espérer que les valeurs de u(tk,xn) ainsi calculées soient proches des valeurs réelles de la fonction u(t,x). vVous trouverez ci-dessous quelques ``cas modèles '' simulés par cette méthode.
Remarque :Les scripts qui ont servis à faire les simulations suivantes on été écrit pour scilab 2.7 et ne sont pas compatibles avec le nouveau mode graphique de scilab version 3.0 et suivantes.
Une équation de transport
En dimension 1 d'espace on considère l'équation suivante :
Sous certaines conditions (v(x)>0 pas trop grand et à faibles variations) ce schémat donne une bonne approximation de l'évolution. On remarquera que la densité se concentre au passage des zones ou la vitesse v(x) est la plus faible et, au contraire, se disperse au passage des zones de plus grande vitesse : ( éxécuter le fichier transport.sce ou voir l'animation transport.gif 385ko).
L'équation de Burger
En dimension 1 d'espace on considère l'équation suivante :
- Si au départ (t=0)
la donnée initiale u0 est décroissante, cette donnée
est rapidement transportée vers des zones (x>0) où
sa vitesse est plus faible (et d'où elle s'évacue
d'autant moins vite), il apparait une “onde de choc”
: c'est la discontinuité (de la fonction x--->u(t,x)) que
l'on voit apparaître après le temps t~2sec(t=pi/2 en
théorie) en éxécutant le fichier burger.sce
ou en regardant l'animation burger.gif
(312ko) avec la donnée initiale :
- Si par contre la donnée initiale u0 est croissante, cette donnée
se disperse vers la droite on parle alors de détente .
En particulier, si u0 possède une discontinuité alors
celle-ci disparait dès que t>0. Voir un exemple
(301 ko)avec une donnée initiale :
Une équation de Schrödinger
En dimension 1 d'espace on considère l'équation suivante :
où V(x) est une fonction à support compact constante. Cette équation se ramène à une équation de transport en faisant le changement d'inconnue suivant :
On retrouve donc une équation de transport à vitesse constante perturbé par des termes imaginaire. Pour que le schéma fonctionne il faut que ces termes perturbateurs (en dt/dx et dt/dx^2 ) soient petits ce qui conduit à choisir dt<<(dx)^2<<dx et impose d'avoir une vitesse xi assez grande (ou faire beaucoup de calculs). La fonction u ne restant pas réelle on affiche sa norme ( éxécuter le fichier schrodinger.sce ou voir l'animation schrodinger.gif 351ko). Sur la fin de l'animation on verra que des erreurs de calcul commencent à s'accumuler dans la zone ou le potentiel V(x) est non nul, il n'est donc pas possible de poursuivre la simulation plus longtemps.
Résonnance dans une équation de transport
Soit a(x) une fonction continûment dérivable valant 1 en dehors d'un intervalle compact et D_x = -i d/dx. On considère l'opérateur
et l'équation de « Schrödinger » associée idu/dt =Hu avec condition initiale u(0,x)=u_0(x). Cette équation de Schrödinger est similaire à une équation de transport. Si on regarde cet opérateur comme une perturbation de l'opérateur H_0=-id/dx on s'attend à ce que son spectre soit égal à R et absoluement continu et que l'évolution associée à H soit proche de celle associée à H_0 (exp(-itH)u(x)~u_0(x-t)). Si l'on connaît un peu de théorie de Mourre on sait qu'il suffit de trouver un opérateur A conjugué à H et H_0 ( essentiellement il faut que le commutateur i[H,A]=i(HA-AH)>0) pour justifier une telle approche heuristique. On vérifie facilement qu'on peut prendre pour A l'opérateur de multiplication par :
.
En effet il est clair que i[H,A]=a(x)^2>0 si a(x) est partout non-nul. A contrario si a(x) s'approche trop de 0 (dans l'intervalle où il varie) on va assiter dans cette zone à un comportement différent de celle obtenue avec H_0. Dans les exemples ci-dessous on voit que plus le « potentiel » a(x) s'approche de 0 plus la partie de u(t,x) localisée dans cette zone reste longtemps non négligeable. Pour vous rendre compte de la différence regardé les 2 animations réalisées avec des potentiels
- a(x)=1-0.5*exp(-x.^2) ayant un minimum de 0.5 en 0 : reson1.gif (380 Ko)
- a(x)=1-0.85*exp(-x.^2) ayant un minimum de 0.15 en 0 : reson2.gif (447 Ko)
Il s'agit d'exemples simples de résonances, vous pouvez aussi éxécuter le fichier reson.sce avec d'autres potentiels.
