Cours n° 1 à 3 des 8, 9 et 16 septembre 2011  :

 - rappels sur les relations d'équivalence : classes, quotient, propriété universelle du quotient, passage au quotient d'une loi de composition ;

 - groupes quotients : sous-groupes distingués, existence du quotient par un sous-groupe distingué, propriété universelle, isomorphisme de l'image d'un morphisme avec le quotient par le noyau ;

 - sous-groupes d'un quotient.

 - Anneaux, idéaux, anneaux quotients :

 -- conventions : les anneaux, morphismes et sous-anneaux sont unitaires ;

 -- rappels : images et images réciproques de sous-anneaux ; intersection de sous-anneaux, sous-anneau engendré, description ;

 --- éléments réguliers (à droite ou à gauche), inversibles (idem), groupe des inversibles ;

 --- définition d'un anneau intègre, d'un corps (un corps est commutatif par définition), exemples ;

 -- idéaux (à gauche, à droite, bilatères) :

 --- exemples, comportement par morphismes, idéal engendré par une partie...

 -- anneau quotient, propriété universelle ;

 -- exemples : comment construire C à partir de R ; comment construire R à partir de Q (suites de Cauchy) ;

 -- idéaux premiers, maximaux.

Cours n° 4 du 22 septembre 2011 :

 - Théorème de Zorn :

 -- énoncé ;

 -- axiome du choix, équivalence des deux (non démontrée) ;

 -- existence d'idéaux maximaux.

 - Modules :

 -- définition d'un module à gauche (resp. à droite) sur un anneau A :

 --- présentation classique ;

 --- présentation comme groupe abélien (E,+) muni d'un morphisme (resp. anti-morphisme) d'anneaux de A dans End(E,+) ;

 -- espaces vectoriels (sur un anneau à division) ;

 -- exemple : Z-module = groupe abélien ;

 -- morphismes de A-modules, structure de groupe sur Hom(E,F), structure de A-module pour A commutatif :

 -- sous-modules (exemples : idéaux, images, noyaux...), modules quotients.

 -- intersections de sous-modules, sous-module engendré ;

 -- propriété universelle du quotient, sous-modules d'un quotient...

 -- produit et somme directe d'une famille quelconque de A-modules ; propriétés universelle du produit.

Cours n° 5 du 29 septembre 2011 :

 -- propriété universelle de la somme directe ;

 -- sous-modules supplémentaires ; lien entre supplémentaires de F dans E et sections linéaires du quotient E/F ; lien avec la notion de projecteur.

 - Bases d'un A-module :

 -- définition du A-module libre standard A^(I) (I ensemble quelconque) ; propriété universelle ;

 -- familles libres, familles génératrices, bases, modules libres ;

 -- exemples et remarques ; parties libres ;

Cours n° 6 du 6 octobre 2011 :

 -- théorème de la base incomplète, existence de bases (sur un anneau à division) ;

 -- une surjection linéaire vers un module libre admet une section ;

 -- conséquences sur un anneau à division : existence de supplémentaires ; toute surjection (resp. injection) linéaire est inversible à droite (resp. à gauche) ;

 -- remarques (admises) sur le cardinal d'une base lorsqu'il existe une base infinie ;

 -- cas d'une base finie : invariance de la dimension (anneau à division) ;

 -- conséquence : invariance du rang pour les module libres sur un anneau commutatif non nul.

 - Algèbre linéaire (modules libres de rang fini sur un anneau commutatif non nul) :

 -- matrice d'une application linéaire ; la formule de changement de base habituelle reste valable.

 -- déterminants, propriétés (la plupart sans démonstration) : développements, formule de la comatrice ;

 -- pour un endomorphisme u de E (libre de rang fini) :

 --- équivalence entre : u bijectif, u inversible à gauche (resp. à droite), u surjectif, det(u) inversible ;

 --- équivalence entre : u injectif, det(u) régulier. (Seule l'implication facile est démontrée ; pour l'autre on renvoie au polycopié d'A. Chambert-Loir).

Cours n° 7 du 7 octobre 2011 :

 -- Théorème de Cayley-Hamilton : démonstration par réduction au cas d'un corps.

Chapitre II: anneaux principaux et euclidiens

(Les anneaux sont commutatifs)

 - Rappels sur les anneaux intègres : divisibilité

 -- définitions générales dans un anneau intègre A : divisibilité, éléments associés, traductions en termes d'idéaux, PGCD et PPCM (d'une famille quelconque d'éléments) ;

 -- éléments premiers entre eux (PGCD=1), éléments étrangers (l'idéal engendré est A), éléments irréductibles.

 - Anneaux principaux et euclidiens :

 -- définition d'un anneau principal, d'une jauge euclidienne, d'un anneau euclidien ;

 -- existence de PPCM et de PGCD (avec Bézout) dans un anneau principal ;

 -- exemples ; tout anneau euclidien est principal ;

 -- PGCD, cas euclidien : algorithme d'Euclide étendu ;

 -- lemme chinois (dans un anneau A quelconque, pour deux idéaux I et J tels que I+J=A).

Cours n° 8 du 13 octobre 2011 :

 -- anneaux principaux : décomposition en irréductibles, factorialité (corollaire : structure multiplicative du corps des fractions).

 - Opérations élémentaires sur les matrices :

 -- notations : GL_n, SL_n, E_n (sous-groupe de SL_n engendré par les matrices élémentaires) ;

 -- opérations élémentaires sur lignes et colonnes, interprétations comme produits par des matrices élémentaires ;

 -- matrices équivalentes dans M_{n,p}(A) (pour l'action de (GL_n)x(GL_p)), et :

 --- « S-équivalentes » (action de (SL_n)x(SL_p)),

 --- « E-équivalentes » (action de (E_n)x(E_p)).

 -- Théorème : pour A principal, toute matrice M dans M_{n,p}(A) est S-équivalente à une matrice D=diag(d_1,...,d_r) où d_i divise d_{i+1} et d_i≠0 (« forme normale de Smith »). Si A est euclidien, on a même la E-équivalence.

 Unicité : la suite d'idéaux (d_i) ne dépend que de M (même avec l'équivalence tout court).

Cours n° 9 du 14 octobre 2011 :

 -- Réduction à la forme de Smith : fin de la démonstration ;

 -- corollaire : théorème de « diagonalisation » pour un morphisme de A-modules de type fini.

 - Modules de type fini sur un anneau principal :

 -- modules de type fini : définition (sur un anneau quelconque) ;

 -- A principal : tout sous-module d'un A-module libre de rang n est libre

de rang ≤n. Tout sous-module d'un A-module de type fini est de type fini.

 -- Théorème de la base adaptée.

Cours n° 10 du 20 octobre 2011 :

 - Modules de type fini sur un anneau principal (suite) :

 -- Structure des A-modules de type fini (A principal) : existence d'une décomposition en modules « cycliques ». Unicité de la décomposition, facteurs invariants ;

 -- torsion, modules de torsion, sans torsion (A intègre) ;

 -- cas de type fini sur A principal : sous-module de torsion, rang ; tout A-module de type fini sans torsion est libre ;

 -- décomposition primaire.

 - Application du théorème de structure : groupes abéliens de type fini.

 - Application du théorème de structure : endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie.

 -- Description des k[X]-modules (k commutatif quelconque). Si E est un k-module et u un endomorphisme on note E_u le k[X]-module correspondant.

Cours n° 11 du 27 octobre 2011 :

 Dans la suite k est un corps.

 -- Modules cycliques : description, matrice compagnon d'un polynôme (unitaire) P, polynômes minimal et caractéristique.

 -- Caractérisation des modules cycliques (existence d'un vecteur « générateur »).

 -- E est de dimension finie sur k si et seulement si E_u est un k[X]-module de type fini et de torsion.

 -- Théorème de structure des (E,u) ; facteurs invariants.

  -- Corollaires :

 --- critère de similitude pour deux matrices (mêmes facteurs invariants) ;

 --- stabilité des facteurs invariants par extension de corps K/k ;

 --- si deux matrices sur k sont conjuguées dans M_n(K), elles le sont dans M_n(k) ;

 --- pour A dans M_n(K) : A est semblable à une matrice de M_n(k) si et seulement si ses facteurs invariants sont dans k[X].

Cours n° 12 du 28 octobre 2011 :

 -- Décomposition de Jordan (k algébriquement clos).

 Chapitre III : extensions de corps.

 - Algèbres :

-- algèbre A (unitaire mais pas nécessairement commutative) sur un anneau commutatif k : définition (comme un morphisme central d'anneaux k->A), morphismes d'algèbres, exemples élémentaires.

 -- définition d'une k-algèbre comme un k-module muni d'un produit bilinéaire ;

 -- intersections de sous-algèbres, sous-algèbre engendrée par une partie ;

 -- polynômes en une famille arbitraire de variables : construction.

Cours n° 13 du 10 novembre 2011 :

 -- polynômes en une famille arbitraire de variables : propriété universelle.

 - Algèbres commutatives (A) sur un corps (k) :

 -- algèbres de type fini : définition, structure des algèbres monogènes ;

 -- éléments algébriques, transcendants ;

 -- toute algèbre de type fini engendrée par des algébriques est de dimension finie ;

 -- conséquence : l'ensemble des éléments de A algébriques sur k est une sous-algèbre, réunion d'algèbres de dimension finie.

 - Extensions de corps :

 -- définition (k-algèbre qui est un corps) ;

 -- sous-extension engendrée par une partie.

Cours n° 14 du 17 novembre 2011 :

 -- extensions algébriques, transcendantes, finies, de type fini : définitions ;

 -- « finie » = « algébrique et de type fini » ;

 -- « algébrique » = « réunion d'extensions finies » ;

 -- exemples : k(X)/k, C/R, C/Q, Q(2^{1/n})/Q ;

 -- cas des extensions monogènes ;

 -- lemme « des bases télescopiques » ;

 -- conséquence : si k\subset K\subset L alors :

 --- [L:k]=[L:K][K:k];

 -- Si L/K et K/k sont algébriques alors L/k est algébrique.

 - Extensions de degré 2 :

 -- caractéristique ≠2 : elles sont de la forme k[X]/(X^2-d) où d n'est pas un carré.

 -- Caractéristique 2 : il y a 2 types :

 --- k[X]/(X^2+d) où d n'est pas un carré ;

 --- k[X]/(X^2+X+c) où c n'est pas de la forme u^2+u.

Chapitre IV : Racines.

 - « Algèbre des restes », corps de rupture :

 -- k anneau, P dans k[X] : propriété universelle de k[X]/(P).

 -- Dans la suite k est un corps.

 -- Exemple : algèbre des nombres duaux.

Cours n° 15 du 24 novembre 2011 :

 - Algèbre des restes (suite) :

 -- Cas où P est irréductible : corps de rupture (couple (K,alpha) où K est une extension de k, alpha une racine de P, avec K=k(alpha)).  Existence et unicité (à isomorphisme unique près) ;

 -- exemples :

 --- k=R, P=X^2+1 ;

 --- k=Q, P=X^3-2.

 -- Corps de décomposition, existence et unicité (à isomorphisme non unique près). (Admis en amphi mais la preuve figure dans les notes) ;

 -- exemple du polynôme X^3-2 sur Q, puis sur Q(j).

 - Corps algébriquement clos, clôture algébrique :

 -- définitions ;

 -- théorème « de d'Alembert ». Conséquence : le corps des nombres algébriques est algébriquement clos ;

 -- existence et « unicité » de la clôture algébrique (admis).

 - Polynômes séparables, éléments algébriques séparables : définitions, premières propriétés.

Cours n° 16 du 25 novembre 2011 :

 - Polynômes séparables (suite) :

 -- exemple : le polynôme X^2+t en caractéristique 2 ;

 -- rappels :caractéristique d'un corps, sous-corps premier, Frobenius ;

 -- dérivation des polynômes, lien avec les racines simples ;

 -- un polynôme P dans k[X] est séparable si et seulement si P et P' sont premiers entre eux ;

 -- exemple des polynômes X^n-a, pour a non nul dans k et n entier ≥1.

 -- Cas où P est irréductible : P est séparable ssi P'≠0.

 -- Corps parfait : définition (tout P irréductible est séparable, tout élément algébrique est séparable).

 -- Caractérisation des corps parfaits : caractéristique nulle ou Frobenius bijectif. Exemple des corps finis.

Chapitre V : théorie de Galois.

 - Plongements d'une extension finie dans une clôture algébrique.

 -- Pour L extension finie de K on note d(L/K) le nombre de K-plongements dans une clôture algébrique Omega fixée. Il est >0 et indépendant de Omega.

 -- Théorème : d(L/K)≤[L:K] et on a égalité ssi L est engendré par des éléments séparables, ou encore si tout élément de L est séparable sur K.

 -- Extensions séparables : définition.

 -- remarques diverses sur la séparabilité :

 --- le degré séparable divise le degré ;

 --- un mot sur les extensions radicielles.

Cours n° 17 du 1er décembre 2011 :

 - Automorphismes, extensions galoisiennes :

 -- automorphismes d'une extension ;

 -- pour une extension finie L/K on a Card(Aut(L/K))≤[L:K] ;

 -- extensions (finies) galoisiennes, groupe de Galois : définition ;

 -- exemples : extensions quadratiques ; l'extension Q(2^{1/3}) de Q n'est pas galoisienne.

 -- caractérisations équivalentes des extensions galoisiennes L/K :

 --- L/K est séparable et tout K-plongement de L dans une clôture algébrique respecte L ;

 --- L/K est séparable et tout P irréductible dans K[X] qui a une racine dans L est scindé sur L ;

 --- L est corps de décomposition d'un polynôme séparable.

 -- Exemples :

 --- K=Q, L=Q(2^{1/3}) ;

 --- K=Q, M=Q(2^{1/3}, j) : l'extension est galoisienne de groupe S_3 ; action de S_3 sur les racines cubiques de 2 et sur {j,j^2} ;

 -- Théorème : correspondance de Galois.

 -- démonstration via le « Lemme d'Artin » : si G est un groupe fini d'automorphismes d'un corps L et K le corps des invariants, alors L/K est galoisienne de groupe G. (Démonstration du lemme d'Artin non faite en amphi ; elle figure dans les notes).

Cours n° 18 du 8 décembre 2011 :

 -- Propriétés de la correspondance de Galois (intersections, extensions engendrées, effet d'un automorphisme, sous-groupes distingués).

 -- applications aux extensions finies séparables L/K (dans une clôture algébrique fixée) :

 --- existence d'une plus petite extension galoisienne contenant L (« enveloppe galoisienne » de L) ;

 --- conséquence : l'ensemble des sous-extensions est fini ;

 --- théorème de l'élément primitif.

 - Exemple : la théorie de Galois des corps finis.