Algèbre commutative

Cours de master de mathématiques (2006-07)

Programme

1. Anneaux, idéaux, algèbres. Construction d'anneaux : polynômes, quotients, localisation. Idéaux premiers et maximaux; intersection des idéaux premiers d'un anneau commutatif. Cas des anneaux de polynômes : le début de la correspondance entre algèbre et géométrie.
2. Anneaux principaux, anneaux factoriels.
3. Modules sur un anneau. Sous-modules, quotients, produits et sommes directes, dual. Notion de suite exacte, de suite exacte scindée (non abordé). Familles libres, génératrices, bases; modules libres. Espaces vectoriels. Longueur.
4. Modules de type fini sur un anneau principal. Théorèmes de structure. Applications à l'algèbre linéaire (invariants de similitude) et à la théorie des réseaux. Aspects algorithmiques dans le cas d'un anneau euclidien.
5. Modules et anneaux noethériens. Théorème de Hilbert. Modules de présentation finie. Idéaux de Fitting.

Enseignants

• Antoine Chambert-Loir
• Pascal Autissier
• Daniel Ferrand

Horaires

• Cours (A. Chambert-Loir). Le lundi, de 8 à 10h, bât. 2A, salle 205.
• Travaux dirigés. Ils sont assurés par P. Autissier (le lundi de 14h à 16h) et par D. Ferrand (le mardi de 16h à 18h).

Documents disponibles

• Rédaction d'un cours avec exercices au contenu similaire (Paris 6, maîtrise de mathématiques - 48 h). Version du 24 août 2005 ; format PDF et Djvu
• Rédaction du cours. Version du 10 octobre 2006 ; format PDF et Djvu
• Première feuille de travaux dirigés. Version du 11 septembre 2006 ; format PDF et Djvu
• Deuxième feuille de travaux dirigés. Version du 10 octobre 2006 ; format PDF et Djvu
• Troisième feuille de travaux dirigés. Version du 28 novembre 2006 ; format PDF et Djvu
• Premier contrôle continu (23 octobre 2006) : énoncé (PDF, Djvu) et correction (PDF, Djvu).
• Second contrôle continu (27 novembre 2006) : énoncé (PDF, Djvu) et correction (PDF, Djvu).
• Page du cours de l'an dernier

Modalités d'examen

Les examens ont lieu sans document, calculatrice, téléphone portable, etc.

• Contrôle continu (note C) : 2 contrôles de 2 h (chacun sur 10 points). Ils auront lieu les lundi 23 octobre et 25 novembre, de 8h à 10h, amphi A.
• Examen terminal (note T) : examen écrit de 2 h. Il aura lieu le jeudi 21 décembre, de 14h30 à 16h30, bât. 27, salle d'examen du 1^er cycle.

La note finale sera la plus grande des notes T et (C+T)/2.

Cours supplémentaire le mardi 12 décembre à 8h, salle 205. Séance supplémentaire de travaux dirigés le même jour, à 16h.

Compte rendu des séances

• Lundi 11 septembre. Cours. Chapitre 1. Anneaux, idéaux, algèbres. §1. Définitions, exemples des anneaux de matrices et des algèbres de groupe. §2. Éléments simplifiables, inversibles, etc. Anneaux à division, corps. Quaternions et théorème de Frobenius (début de la démonstration).
• Lundi 18 septembre. Cours. §2. Fin de la démonstration du théorème de Frobenius. §3. Idéaux (à droite, à gauche, bilatères). Constructions variées (intersection, idéal engendré, somme, produit, radical d'un idéal d'un anneau commutatif). §4. Algèbres, polynômes. Construction rapide de l'anneau des polynômes.
• Lundi 25 septembre. Cours. §4. Polynômes, propriété universelle. Exemple des polynômes d'endomorphisme. §5. Anneaux quotients. Relation d'équivalence compatible avec la structure d'anneau, définition et propriété universelle de l'anneau quotient. Lien avec les idéaux bilatères.
• Lundi 2 octobre. Cours.§5. Anneaux quotients. Idéaux d'un quotient. Théorème chinois. §6. Anneaux de fractions. Construction, propriété universelle. Exemples du corps des fractions d'un anneau intègre et des nombres décimaux.
• Lundi 9 octobre. Cours. §6. Anneaux de fractions. Description d'un anneau de fractions comme un quotient ; quotients d'un anneau de fraction et anneau de fraction d'un quotient. §7. Idéaux maximaux. Existence (théorème de Krull; utilise le théorème de Zorn) ; application aux éléments inversibles à gauche. Dans un anneau commutatif, un idéal est maximal si et seulement si le quotient est un corps. Cas des anneaux de polynômes (théorème des zéros de Hilbert) et de fonctions sur un espace métrique compact (Gelfand).
• Lundi 16 octobre. Cours. §8. Anneaux principaux et euclidiens. §9. Anneaux factoriels. Définition choisie : (i) toute suite croissante d'idéaux est stationnaire et (ii) tout élément irréductible engendre un idéal premier. §10. Factorialité des anneaux de polynômes.
• Lundi 23 octobre. Contrôle continu.
• Lundi 6 novembre. Cours. Chapitre 2. Modules. §1. Définitions. §2. Opérations sur les modules. §3. Quotients de modules. §4. Familles libres, liées, bases. Modules libres.
• Lundi 13 novembre. §5. Espaces vectoriels. §6. Modules libres de type fini sur un anneau commutatif.
• Lundi 20 novembre. §6. Déterminant, familles génératrices, familles libres dans un module libre de type fini sur un anneau commutatif. §7. Opérations élémentaires sur les matrices à coefficients dans un anneau principal (début).
• Lundi 27 novembre. Contrôle continu n^o 2.
• Lundi 4 décembre. §7 (suite). §8. Modules de type fini sur un anneau principal. §9. Application : groupes abéliens de type fini.

Antoine Chambert-Loir