La théorie des singularités a originellement pour but la classification et la hiérarchisation de la géométrie des ensembles dits singuliers, c'est-à-dire des ensembles qui ne sont pas partout localement semblables à des espaces euclidiens, géométriquement rudimentaires. En réalité cette étude n'est possible que lorsque subsistent encore des propriétés de régularité pour les singularités en questions ; ainsi les objets à l'étude ne sont-ils pas radicalement sauvages, mais jouissent toujours d'une géométrie modérée. Il s'agit alors de mettre en évidence la régularité-même des singularités de ces bons ensembles singuliers, garante d'une certaine pertinence prédictive lorsque ceux-ci rendent compte par exemple des phénomènes physiques ou économiques complexes aussi bien que strictement et fondamentalement mathématiques.

Les débuts de la théorie, en tant que théorie autonome, sont rattachés aux travaux de O. Zariski, H. Whitney R. Thom (1) et J. Milnor (2), dans les années 1950-60. Celle-ci connaît des succès remarquables notamment avec le théorème de résolution des singularités de H. Hironaka (3) ou les théorèmes d'isotopie de Thom-Mather, tous deux dans l'esprit évoqué ci-dessus consistant à déceler la régularité des singularités et assembler, ce qui parmi le singulier et au-delà de celui-ci, se ressemble.

L'histoire présente de la théorie combine des approches toujours plus nombreuses et fondamentales, faisant appel à quasiment tous les domaines des mathématiques. Ont ainsi leur part la géométrie et la topologie algébriques, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l'analyse.

L'objectif de notre projet est de développer l'étude des singularités dans le cadre réel, en se concentrant sur la situation typique des déformations analytiques (les fibres de Milnor). Les parentés avec les cadres complexes et p-adique enrichiront cette étude en amont et en aval et apporteront peut-être un nouvel éclairage sur des problèmes difficiles.

(1), (2), (3) Médaille Fields 1958, 1962, 1970