Organisation du module F04 :
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connaissances - ...).
Présentation du module F04 :
* Objectifs
* Descriptif
* Références bibliographiques
* Prérequis
* Illustration
Objectifs :
Le but de ce cours est double. Il s'agit d'une part d'étudier de manière approfondie les notions
d'algèbre linéaire utilisées dans de nombreuses branches des mathématiques.
D'autre part, on analyse les principales méthodes pour la résolution des systèmes linéaires
et l'approximation spectrale. Ces méthodes, largement utilisées par les chercheurs et ingénieurs,
soulèvent des problèmes théoriques nécessitant une connaissance solide de l'algèbre
matricielle.
Descriptif :
Matrices symétriques et hermitiennes, théorème de Schur, orthonormalisation, quotient de Rayleigh,
caractérisation min-max de Courant-Fischer, décomposition en valeurs singulières.
Normes matricielles, rayon spectral. Matrices positives, théorème de Perron-Frobénius.
Systèmes linéaires carrés : conditionnement, méthodes directes de résolution,
transformation de Householder, factorisations, profils, méthodes itératives, méthodes variationnelles
(gradient, gradient conjugué). Systèmes sur-déterminés, moindres carrés.
Approximation spectrale : cercles de Gershgorin, théorèmes de perturbation, suites de Sturm,
méthodes de puissances, QR et Jacobi, sous-espaces de Krylov. Applications au cas non-linéaire :
point fixe, méthode de Newton-Raphson.
Références bibliographiques :
** Allaire, Kaber. Algèbre linéaire numérique.
Paris, Ellipses, 2002
** Lax. Linear Algebra.
New-York, Willey and Sons, 1997
** Lascaux, Théodor. Analyse numérique matricielle appliquée
à l'art de l'ingénieur.
Paris, Masson, 1987
** Horn, Johnson. Matrix Analysis.
Cambridge, Cambridge University Press, 1985
Prérequis :
Connaissances élémentaires en algèbre linéaire (matrices et systèmes linéaires - opérations
matricielles - déterminants - inversibilité - valeurs et vecteurs propres - diagonalisation - ...)
Illustration :
Il est souvent difficile de résoudre un système linéaire "Ax=b" issu de la modélisation et de la
discrétisation d'un problème de la physique, de la chimie, de la biologie, ... Les difficultés de divers types
(propriétés, taille, conditionnement de "A") nécessitent de choisir judicieusement la méthode de
résolution. Dans certains cas, il sera possible de choisir parmi une famille de méthodes dites itératives
qui approchent la solution "x" du système par une suite de vecteurs qui se doit de tendre vers la solution exacte
"x".
Parmi un vaste choix, nous étudierons la méthode de Gauss-Seidel relaxée. Sans la dévoiler, donnons le
principe : Il s'agit d'écrire la matrice "A" sous la forme "A=M(omega)-N(omega)" où "M(omega)" désigne une
matrice pour laquelle le système associé est facile à résoudre. D'autre part "M(omega)" dépend d'un
paramètre que l'on choisit entre 0 et 2. Ensuite, après le choix d'un vecteur initial (en général le
vecteur nul), la suite de vecteurs qui se doit de tendre vers la solution exacte "x"
est définie par la résolution facile et récursive des systèmes :
(où "x[n]" désigne le n-ième vecteur de cette suite)
M(omega) x[n] = N(omega) x[n-1] + b
Cette famille de méthodes repose sur le fait que "M(omega)" et "N(omega)" satisfont bien "M(omega) x = N(omega) x + b".
La vitesse de
convergence de la suite "x[n]" vers "x" quand "n" croît dépend du paramètre "omega". Un outil nous permet
de choisir le paramètre optimal. Il s'agit du rayon spectral de la matrice d'itération de la méthode que
l'on définit à partir de "M(omega)" et "N(omega)". Nous montrons, ci-dessous, la courbe de ce rayon spectral en
fonction de "omega" lorsque la matrice "A" est de taille 10x10 et dont les éléments non nuls sont définis
par
A(i,i) = 2 et A(i,i-1) = A(i,i+1) = -1.
Pour des raisons détaillées dans ce module, nous savons que ce rayon spectral doit être plus petit que 1
pour qu'il y ait convergence. D'autre part, lorsque ce rayon spectral est minimal, la convergence de la suite est maximale.
On choisira alors ici le paramètre "omega" égal à 1,6.
