Ci-dessous, il y a une applet permettant de se déplacer sur un "planisphère" du plan hyperbolique. Vous pouvez vous y promener (cliquez sur les flèches ou sur la carte, ou sur le volant...). Vous laissez une marque (bleue) derriere vous. Si vous cochez "show way home", une ligne verte vous montre le plus court chemin pour revenir à votre point de départ.

Vous pouvez aussi dessiner des segments de droite sur le sol en utilisant la touche SHIFT et des disques en utilisant la touche ALT.

Le plan hyperbolique est un espace découvert par les mathématiciens aux propriétés surprenantes. Pour le représenter on utilise une sorte de "planisphère". Comme sur un planisphère, les distances y sont déformées. Il faut imaginer qu'en réalité, chacun des carreaux a la même taille. Lorsqu'on se déplace, on a l'impression que les carreaux se déforment, mais dans la réalité de l'espace hyperbolique, il ne se déforment pas, c'est juste nous qui nous déplacons, et notre perspective qui change. L'impression de déformation est juste une conséquence de l'imperfection du planisphère. De même, les segments de droite sont courbés dans le planisphère, et le centre des disques n'est pas au centre sur le planisphère (mais il est bien au centre en vrai!, dans l'espace hyperbolique).

L'expérience du volant bridé

Voici une expérience intéressante. Partez du centre d'un carreau (à peu près).

• Avancez d'un carreau, tournez d'un quart de tour à gauche. Avancez à nouveau d'un carreau, puis tournez à gauche. Recommencez. Au bout de 5 fois, vous revenez sur vos pas, rien d'étonnant.
• Maintenant, refaites l'expérience en avancant à chaque fois de 2 carreaux avant de tourner à gauche: Avancez de 2 carreaux, tournez d'un quart de tour a gauche. Avancez à nouveau de 2 carreaux, puis tournez à gauche. Recommencez. Recommencez plein de fois. Vous ne revenez jamais sur vos pas.
• Cliquez sur le bouton "show way home" pour afficher la ligne verte qui vous montre votre point de depart. Deplacez vous en suivant la ligne verte pour observer votre trajectoire. Vous realiserez que vous ne vous etes pas beaucoup éloigné de la ligne droite. On a meme l'impression qu'on a "tourné autour d'une ligne droite..." !

Il y a une autre facon de mettre ce phénomène en évidence. Cliquez sur le bouton "volant bridé" pour empêcher le volant de trop tourner. Pilotez la voiture en tournant le volant, et essayez de retourner à votre point de départ (il n'y a pas de marche arrière). C'est impossible !
Si le volant ne permet pas de tourner suffisamment, on a beau tourner "en rond", on ne revient pas à son point de départ. Au contraire, on avance indéfiniment.
Mathématiquement, on dit que "les quasi-geodesiques locales sont des quasi-geodesiques globales".

Cette applet est issue d'une applet java créée par Arnaud Chéritat à Toulouse. Je l'ai adaptée pour les besoins d'un exposé pour des lycéens, que j'ai fait la première fois à l'Ile Tudy dans le cadre d'immersion sciences.
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