Licence MiaSHS Deuxième année
Module Algèbre III
Algèbre linéaire
Feuilles d'exercices
Feuille 1, Feuille 2, Feuille 3, Feuille 4
Des cours en vidéo sur les thèmes du cours
Devoirs posés en 2020 : DS1, DS2, DS3.
Devoirs posés en 2021 : DS1, DS2 (corrigé), DS3 (corrigé).
Corrections des exercices 20 et 23 de la feuille 3.
Corrections des exercices 2 et 5, 7 et 14 de la feuille 4.
Vidéos d'exercices sur les matrices d'applications linéaires : un, deux.
Vidéos à regarder : déterminants 1, déterminants 2, déterminants 3, déterminants 4 .
Modalités de contrôle des connaissances.
En première session l'évaluation est un contrôle continu décrit ci-dessous. En deuxième session ce sera un examen.
Vous aurez trois notes pour deux interrogations d'une durée de quarante-cinq minutes et une interrogation d'une heure trente. La note finale sera la moyenne de ces notes (avec les coefficients 1, 1, 2).
Les deux contrôles de quarante-cinq minutes se dérouleront les 14 octobre, 18 novembre et le contrôle d’une heure trente le 16 décembre. Ces modalités sont susceptibles de changer suivant mes disponibilités et celles des étudiants et suivant les contraintes sanitaires qui sont elles aussi susceptibles de changer.
En cas d'absence injustifiée la note attribuée est 0. En cas d'absence justifiée à l'un des deux contrôles courts la note correspondante est neutralisée. Un contrôle de rattrapage sera proposé aux étudiants absents ayant justifié leur absence au contrôle long.
Avancement du cours
Cours 1 (16/9) : Rappels sur les matrices : définitions, vocabulaire, transposition d’une matrice, addition de deux matrices, produit de deux matrices, propriétés (associativité, commutativité (pour l’addition), distributivité, éléments neutres…).
Cours 2 (23/9) : Produit de matrices diagonales, produit de matrices triangulaires, matrices inversibles (exemple des matrices 2x2), matrices diagonalisables, puissances d’une matrice diagonalisable, chaînes de Markov et calcul matriciel (sur un exemple).
Cours 3 (30/9) : Matrices de technologie (exemples en dimension 1, en dimension 3). Espaces vectoriels : définition, exemples. Sous-espace vectoriel. Combinaison linéaire.
Cours 4 (7/10) : Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ensemble des combinaisons linéaires, intersection des sev contenant la partie). Intersection de sev, somme de sev. Applications linéaires : définition, exemples. Image et noyau d’une application linéaire.
Cours 5 (14/10) : Systèmes linéaires : vocabulaire, algorithme de Gauss-Jordan, structure de l’ensemble des solutions, discussion en fonction du rang de la matrice associée. Deuxième heure : DS1.
Cours 6 (21/10) : Début du chapitre 2 : Dimensions. Injectivité, surjectivité, bijectivité des applications linéaires. Familles libres, familles génératrices, bases. Théorème de la base incomplète. Dimension. Diverses propriétés. Théorème du rang. Dimension d’une somme de deux sous-espaces vectoriels. Somme directe de deux sous-espaces vectoriels.
Cours 7 (28/10) : Retour sur la somme de deux sous-espaces vectoriels : deux démonstrations. Hyperplans ; liens avec les formes linéaires. Dimension d’une intersection d’hyperplans. Le noyau d’une forme linéaire f contient l’intersection des noyaux de k formes linéaires indépendantes f₁, f₂,… si et seulement si f est combinaison linéaire de f₁, f₂,… Retour sur le théorème du rang : le noyau d’une matrice vu comme intersection d’hyperplans. Début du chapitre 3 : homothétie, rotation.
Cours 8 (18/11) : Projections, symétries, matrices associées dans des bases bien choisies. Deuxième heure : DS2.
Cours 9 (25/11) : Matrice d’un vecteur dans une base. Représentation d’une application linéaire par une matrice. Changement de base. Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme. Espace propre. Diagonalisation.
Cours 10 (2/12) : Diagonalisation. Déterminants : cas de la dimension 2, définition, exemples de calculs, règle de Sarrus, développement par rapport à une ligne ou colonne, déterminant d’un produit de matrices, caractérisation d’une matrice inversible par le déterminant, application à la recherche de valeurs propres.
Cours 11 (9/12) : Diagonalisation : exemples, calculs de polynômes caractéristiques, de valeurs propres, vecteurs propres. Extraits des exercices 10, 13, 14 de la feuille 4.