(Texte faisant suite à l'article "Enfin un palindrome parfait ?"
Quadratures 49)
DÉFINITION
On fait correspondre à chaque lettre son rang dans l'alphabet,
ainsi A=1, B=2, etc..., Z=26. L'écart palindromique (EP) d'une
expression de taille paire
a1a2....a2n
est alors donné par la formule :
EP
= 1/n ( |a1-a2n| +
|a2-a2n-1| +.... +
|an+an+1| )
De manière analogue, L'EP d'une expression de taille impaire
a1a2....a2n+1
est donné par la formule :
EP
= 1/n ( |a1-a2n+1|
+ |a2-a2n| +.... +
|an-1+an+1| )
POINTS FIXES
Voici l'EP des vingt-six premiers entiers naturels, qu'on écrit
sous la forme rationnelle irréductible.
Zéro
|
Un |
Deux |
Trois |
Quatre |
Cinq |
Six |
Sept |
Huit |
Neuf |
12
|
7
|
18
|
5
|
34/3
= 11,33...
|
19/2
= 9,5
|
5
|
6
|
12
|
12
|
Dix |
Onze |
Douze |
Treize |
Quatorze |
Quinze |
Seize |
Dix-sept |
Dix-huit |
Dix-neuf |
20
|
11
|
6
|
9
|
39/4
= 9,75
|
22/3
= 7,333...
|
35/2=
17.5
|
14
|
19/3
= 6,333...
|
11
|
Vingt |
Vingt
et un |
Vingt
deux |
Vingt
trois |
Vingt
quatre |
Vingt
cinq |
|
|
|
|
2
|
7
|
13/2
= 6,5
|
3
|
39/5
= 7,8
|
19/4
= 4,75
|
|
|
|
|
Sachant que l'EP est compris entre
0 et
25, le seul point fixe entier
est donc
11.
Par ailleurs, le
rationnel
33 / 4
est un autre point fixe. En effet :
l'EP
de "Trente-trois / quatre" est bien
33 / 4
Question : Existe
t-il d'autres points fixes rationnels ?
Question : Quel
est le plus petit point fixe ? Le plus grand est-il égal
à
11 ?
DÉVELOPPEMENT DÉCIMAL
O peut chercher des expressions dont l'
EP,
écrite sous forme de développement décimal, soit
un palindrome numérique. Pour que cela ait
un
sens, il faut que l'
EP
soit
un nombre décimal, sinon le développement décimal
est infini périodique et il est donc difficile d'en comparer le
début et la fin !
Bien évidemment l'
EP
de tout véritable palindrome est
0 qui est un palindrome
numérique de taille
1,
"Développement décimal " a un
EP de
7,7 qui est un décimal de
taille
2. De même,
"Opérations " a un
EP
de
8,8 qui est un
décimal
de taille
2.
Citons encore "fonctions" dont l'
EP
vaut
5,25 qui est un
palindrome numérique de taille
3.
Question : Trouver
des expressions dont l'EP décimal est un palindrome
numérique de plus long développement décimal
possible.
ÉCART PALINDROMIQUE
MAXIMAL
On s'intéresse aux expressions de taille
N dont l'
EP est "grande". On appelle
EXP(N) (resp.
exp(N)) la valeur maximale
(resp.
minimale) de
l'
EP d'une expression de
taille
N. De même,
NOM(N) (resp.
nom(N)) pour les noms communs,
et
NOMP(N) (resp.
nomp(N)) pour les noms propres.
On se limitera bien entendu aux expressions ayant un sens, et correctes
sur les plans de la syntaxe, la grammaire
et l'orthographe.
Commençons par examiner les petites valeurs de
N.
N
|
nom |
NOM
|
1
|
0
(a)
|
0
(a)
|
2 |
0 (aa)
|
21
(va)
|
3
|
0
(ici)
|
23
(aux)
|
4 |
0
(erre)
|
22
(axez)
|
5
|
0
(kayak)
|
22
(axiez)
|
6
|
0 (selles)
|
19 (axerez)
|
...
|
|
|
21
|
59/10
(postsynchronisassions)
|
10
(désembourgeoiseraient)
|
22-23
24
|
0
|
0
|
25
|
29/4=7,25
|
29/4=7,25 |
La première colonne du tableau commence par une suite de
zéros. Ceci est du au fait qu'il existe des mots palindromes de
taille 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Les mots palindromes les plus long comportent
en effet 9 lettres (ressasser par exemple). La quantité
nom(N)
est donc non nulle à partir du rang 10 (sauf en ce qui concerne
les cas
N=22,23,24).
Notons en effet qu'il n'existe pas de mot de 22
à 24 lettres, ce qui explique la valeur 0 de
nom et
NOM. Quant
au rang 25, il est aisé à traiter car
anticonstitutionnellement est l'unique nom de 25 lettres, qui
réalise donc à la fois le minimum et le maximum de l'
EP.
Question : Compléter
et affiner le tableau précédent.
Question : Commencer un
tableau analogue pour les expressions.
Question : Quelle est la
valeur de
limsup EXP(N)
lorsque
N
tend vers l'infini ?
Je ne peux que vous inciter à aller consulter un site
remarquablement fourni sur les palindromes (et fourmillant aussi de
plein d'autres trouvailles) :
http://www.fatrazie.com/palindromes.htm
LA SUITE DES ITÉRÉS
Les seuls suites d'itérés à valeurs
entières sont nécéssairement de la forme
(S1, 11, 11, ...) ou
(S1, 19, 11, 11, ...). Il suffit
pour s'en convaincre de remarquer que le second élément
de la suite
d'itérés est toujours compris entre
0 et
25.
L'immense majorité des exemples testés fournit une suite
stationnaire vers
33/4
le point fixe attractif. Peu d'autres exemples stationne vers
11, point fixe
répulsif, et dans ce cas la convergence se fait très
rapidement, en une ou deux itérations.
Et il n'est apparu qu'une seule suite d'itérés non
stationnaire en
11 ou
33/4. A savoir la suite
(périodique) :
41/7,
33/8, 41/7,33/8....
Question : Existe t-il
d'autres exemples de suites périodiques ou ultimement
périodiques ?
Question : Existe t-il des
suites d'itérés non périodiques et non ultimement
périodiques ?
Par exemple, il serait
intéressant de savoir s'il peut exister une suite convergeant
vers
0,
Ou alors
possédant
0 comme
valeur d'adhérence, i.e. une expression ultimement palindromique
?
AILEURS
En anglais, eight (
8) et
eleven (
11 : encore lui
!) dont points fixes
pour l'EP.
Question : Sont-ils
attracteurs, répulsifs ?
Plus près de chez nous, chez nos amis belges et suisses :
Question : L'apparition
de septante, octante,
et nonante génére t-elle d'autres
phénomènes ?
On peut étudier d'une manière générale, les
itérés quelle que soit la langue
considérée.
Question : Est-ce qu'il
existe qu'un nombre fini de
points fixes, lesquels sont attracteurs, etc..