Salles 04-06 (RdC - Floor 0), Tour de Maths (Bat. 22-23), Campus de Beaulieu
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Abstracts Lauret Busé : Résultants sur une variété déterminantielle Dans cet exposé, on présentera brièvement une généralisation du résultant classique, c'est-à-dire d'une intersection complète, au cas d'une variété déterminantielle. Etant donnés deux fibrés vectoriels E et F de rangs respectifs m et n sur une variété projective irréductible X et un entier r < min(m, n), on montre que si X est de dimension (m − r)(n − r) − 1 alors, sous des hypothèses de très amplitudes du fibré Hom(E,F), il existe un résultant défini sur l’espace vectoriel H = Hom(E,F) qui s’annule pour M dans H si et seulement s'il existe au moins un point de X ou M est de rang inférieur ou égal à r. Nous nous attarderons plus particulèrement sur les cas où X est un espace projectif car il est alors possible de donner des formules explicites pour calculer ce résultant "déterminantiel" ainsi que son degré. Daniele Faenzi : Determinantal representations, some results and conjectures Je proposerai un survol de résultats bien connus, aussi bien que quelques conjectures plus ou moins connues autour des représentations déterminantielles des polynômes, notamment pour les polynômes homogènes complexes, et, si le temps le permet, dans le cadre de variétés de codimension plus grande que 1. Salma Kuhlmann: Closure of $\ringsop{R}{2d}$ in Topological $\reals$-Algebras Let $R$ be an $\reals$-algebra with $1$ and $K\subseteq\V{R}:=\Hom{R}{\reals}$, closed with respect to the product topology. We consider $R$ endowed with the topology $\T{K}$, induced by the family of multiplicative seminorms $\rho_{\alpha}(a):=|\alpha(a)|$, for $\alpha\in K$ and $a\in R$. In case $K$ is compact, we also consider the topology induced by $\norm{K}{a}:=\sup_{\alpha\in K}|\alpha(a)|$ for $a\in R$. If $K$ is Zariski dense, then those topologies are Hausdorff. We prove that the closure of the cone of sums of $2d$-powers, $\ringsop{R}{2d}$ with respect to those two topologies is equal to the cone $\pos{K}:=\{a\in R:\alpha(a)\ge0,\textrm{ for all }\alpha\in K\}$. In particular, any continuous linear functional $L$ on the polynomial ring $R=\rx:=\reals[X_1,\dots,X_n]$ with $L(h^{2d})\ge0$ for each $h\in\rx$ is integration with respect to a positive Borel measure supported on $K$. We give necessary and sufficient conditions to ensure the continuity of a linear functional. This is joint work with Mehdi Ghasemi. Victor Magron : Formal Proofs of Inequalities and Semi-Definite Programming The aim of this work is to extend the previous work of Roland Zumkeller by using SDP and polynomial approximation of transcendental functions. An algorithm is being implemented in OCaml and tested using benchmarks largely built from inequalities issued from the formal proof of Kepler conjecture (by Thomas Hales). The algorithm uses approximation of transcendental functions by polynomials whose bounds can be approximated by solving a sum of squares problem, helped with an external tool(with Matlab: SparsePOP, GloptiPoly, Maple: RAGlib or C: CSDP, DSDP,...). A second step will be to re-implement this algorithm in Coq and then to formally certify it. Bernard Mourrain : Matrices de moments, bases de bords et applications. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux propriétés des matrices de moments et des opérateurs de Hankel associés, aux problèmes d'extension plate de matrices de moment et aux liens avec les bases de bords. Des applications au calcul de radical réel seront détaillées. Les extensions au problèmes d'optimisation seront évoquées. (liés à des travaux en commun avec J.B. Lasserre, M. Laurent, Ph. Rostalski, Ph. Trébuchet) Daniel Plaumann : Spectrahedra and Determinantal Representations 1 We consider the problem of representing a convex set as a spectrahedron, i.e. by a linear matrix inequality. In its purest form, this problem amounts to giving a positive-definite real linear matrix representation of a real-zero (resp. hyperbolic) polynomial. We will look at concrete examples, compare different computational approaches, and revisit several classical and novel results along the way. (Based on joint work with T. Netzer, B. Sturmfels, A. Thom and C. Vinzant) Tim Netzer : Spectrahedra and Determinantal Representations 2 The examination of spectrahedra leads to the algebraic problem of writing real zero polynomials as determinants of linear matrix polynomials. I will continue the talk of Daniel Plaumann, explaining some positive and negative results concerning this question. I will focus on the problem of writing some power or some multiple of a polynomial as a determinant. The generalized Hermite matrix of the polynomial turns out to be closely connected to these questions. I will present a construction method based on sums of squares decompositions of this matrix. Finally I will show that linear determinantal representations with denominators always exist. (Joint work with Daniel Plaumann and Andreas Thom) Markus Schweighofer : Certificats de non-réalisabilité d'une inégalité matricielle linéaire (travail en commun avec Igor Klep) Le Positivstellensatz en géométrie algébrique réelle dit qu'on peut certifier l'inconsistance d'un système d'inégalités polynomiales par une identité algébrique impliquant des sommes de carrés. Les meilleurs bornes supérieures connues pour le degré d'une telle identité sont plus qu'exponentielles. Le lemme de Farkas en géométrie convexe fait la même chose pour les systèmes d'inégalités linéaires en utilisant une identité linéaire. Un bon compromis entre les systèmes d'inégalités polynomiales et linéaires sont les inégalités matricielles linéaires. Des résultats récents de Helton et Nie montrent que les inégalités de ce type permettent d'exprimer beaucoup de phénomènes non-linéaires; pourtant, elles peuvent etre résolues par une technique de programmation semi-définie ressemblant à la programmation linéaire. Dans cet exposé, nous introduisons les inégalités matricielles linéaires et nous développons un certificat pour leur inconsistance basé sur les sommes de carrés. Bien que la borne que nous pouvons démontrer pour le degré du certificat soit encore exponentielle, nous réussissons à coder le certificat dans une autre inégalité matricielle linéaire de taille polynomiale. On y arrive par coder certaines appartenances aux radicaux réels sous forme d'inégalité matricielle linéaire. Ceci donne lieu à une nouvelle théorie de dualité en programmation semi-définie ayant les bonnes propriétés qu'on connaît de la programmation linéaire. Une telle théorie a été déjà conçue d'une autre façon par Ramana en 1997. Mohab Safey El Din : Computing rational points in convex semi-algebraic sets and application to sums-of-squares decompositions Computing a sum of square decomposition of a given polynomial is commonly reduced to solving a linear matrix inequality which defines a convex semi-algebraic set. We consider here the problem of computing points with rational coordinates in a convex semi-algebraic set; hence yielding the ability to compute sum of squares decompositions with rational coefficients when the given polynomial has rational coefficients. We provide an algorithm for this problem, its bit-complexity analysis and, as a by-product height bounds on the rational coefficients appearing in a sum-of-square decomposition. This is joint-work with Lihong Zhi. Fabio Tanturri : Rational, real and complex pfaffian representation of cubic surfaces In this talk I will discuss some results on pfaffian representations of cubic surfaces in P^3, the complex projective space. These allow us to develop an algorithm, whose inputs are five points in general position on the surface and whose output is a (complex) pfaffian representation of the cubic surface. In the case both the equation of the cubic surface and the coordinates of the five points are rational, then the output pfaffian representation is rational too. Finally, we prove the existence of real pfaffian representations of real irreducible cubic surfaces. A similar result is proven in the rational case, provided a rational point on the surface satisfying one additional hypothesis. Phlippe Trébuchet : Implantation d'un algorithme de calcul de radical réel approché Après un bref rappel des méthodes de bases de bord et de l'utilisation des matrices de moments pour caractériser le radical réel d'un ideal polynomial, je présenterai un algorithme effectuant cette tache et détaillerai son implantation en C++. Je mettrai en avant les logiciels utilises et présenterai à la fois les forces et les faiblesses de ceux-ci sur les classes de problèmes rencontrés. Victor Vinnikov : Positive determinantal representations of a class of real algebraic curves in a higher dimensional space I will first recall how the construction of LMI representations for a convex semialgebraic set in the plane can be settled by the construction of positive determinantal representations for a class of plane real algebraic curves, so called real zeroes (RZ) curves. The situation for real algebraic hypersurfaces in a higher dimensional space is still unclear. I will discuss how one of the approaches for plane curves can be generalized for curves (rather than hypersurfaces) in a higher dimensional space possessing an appropriately generalized RZ property. This is a joint work with my Ph.D. student Eli Shamovich. |