Cours D.E.A. niveau 2

Homogénéisation 2 : Introduction à l'analyse multi-échelle

Nou traitons un ensemble assez simple mais pourtant représentatif dans la classe très large des problèmes aux limites avec coefficients rapidement oscillants dans des domaines comportant aussi éventuellement une structure périodique interne (du genre petits trous ou micro-fissures).

Ainsi nous nous intéressons à des problèmes scalaires bi-dimensionnels, elliptiques, avec conditions aux limites externes de Dirichlet. En plus de coefficients oscillant de manière périodique avec une période petite devant les proportions du domaine, nous envisagons la présence de cavités internes, distribuées avec la même période, et associées aux conditions aux limites de Dirichlet ou de Neumann. L'intention pour la considération de ces deux possibilités n'est pas le goût de la généralité, mais parce que ces deux cas font apparaître des comportements fondamentalement différents des solutions quand la période devient petite.

Nous nous concentrons d'abord sur la structure des solutions quand l'interaction avec le bord externe peut être négligée (situation au demeurant assez artificielle) et mettons en évidence la structure infinie à double échelle (l'une est celle du domaine, l'autre celle de la structure périodique) et les algorithmes qui les relient.

Ensuite nous nous attaquons à l'interaction de la structure périodique avec le bord externe du domaine. Nous donnons des réponses dans des situations particulières (il semblerait que le cas général ne soit toujours pas traité d'ailleurs). Nous assistons à l'apparition d'une échelle rapide non périodique près du bord externe, vivant dans la couche limite.

Nous avons pu réaliser des expérience numériques avec la bibliothèque d'éléments finis MÉLINA, atteignant une période de 1/20 des dimensions macroscopiques. Elles permettent de ``voir'' une partie des phénomènes prévus par la théorie.

Des notes de cours sont fournies dans le fichier pdf Homo2.pdf

A la fin de ces notes (p.26) sont présentées des expériences numériques. Les graphes correspondants (isovaleurs) sont téléchargeables: pour chacun, il se compose d'un script Matlab .m et d'un binaire .mat.

Coefficients oscillants (sans trous)
B1.m B1.mat B2.m B2.mat B3.m B3.mat B4.m B4.mat
B5.m B5.mat B6.m B6.mat B7.m B7.mat

Coefficients oscillants (avec trous Dirichlet)
D1.m D1.mat D2.m D2.mat D3.m D3.mat D4.m D4.mat
D5.m D5.mat D6.m D6.mat
D7.m D7.mat D8.m D8.mat D9.m D9.mat