Quantum mechanics

Schrödinger operator. The Schrödinger operator with magnetic potential (and without electric potential) is considered in a two-dimensional domain with corners. The operator involves a small parameter h in its principal part. We investigate the behavior of the lowest eigenvalues as h tends to 0, just as in the problem of the semi-classical limit. The corresponding eigenvectors concentrate in convex corners, all the more since their opening is small. Although they correspond to small eigenvalues, proportional to h, these eigenvectors have a highly oscillating character, with wave length proportional to h, too. The numerical approximation of the eigenpairs is a numerical challenge. We have more success with finite element methods using high degree polynomials, implemented in the library Melina.
 

Electromagnetism

Maxwell Singularities. Les équations de Maxwell harmoniques avec conditions aux limites du conducteur parfait sont posées dans un domaine bi- ou tri-dimensionnel dont le bord présente des coins ou des arêtes (polygone ou polyèdre). Les solutions des équations deviennent infinies au voisinage des arêtes et des coins non convexes, et ce d'une manière typique en fonction de la géométrie du domaine. Nous avons décrit précisément ce phénomène via la détermination du développement asymptotique des solutions.
Nous avons expliqué et illustré les conséquences négatives de la présence de ces singularités non bornées sur un type de méthode d'approximation numérique: l'emploi d'éléments finis nodaux standard couplée avec la régularisation de la partie rotationnel de l'opérateur par une partie divergence. Ces conséquences sont en effet catastrophiques puisque la méthode converge (lentement) si le maillage tend vers 0 vers... une solution fausse (c'est en fait la solution d'un problème d'élasticité linéaire!)
Nous explorons des méthodes pour venir à bout de ce blocage. L'une est la pénalisation des conditions aux limites. L'autre, plus prometteuse, et qui peut se combiner avec la précédente, est la régularisation à poids. Nos démonstrations sont étayées par des tests numériques réalisés avec le code MELINA.

Wave guides and propagation. Le domaine de propagation des ondes est illimité et invariant dans une direction (la direction de propagation). Nous décrivons le couplage à haute fréquence entre la fréquence spatiale et la fréquence temporelle. Une première approche a été réalisée dans le cadre de l'équation de Helmholtz. Nous explorons maintenant ce couplage pour équations de Maxwell elles-mêmes, donc sans simplification a priori.
 

Elasticity

Tous les problèmes de cette rubrique se rapportent à des situations où est présent un petit paramètre epsilon qui conduit à un problème de perturbation singulière quand il tend vers 0.

Thin Plates. Le domaine dont on modélise les déformations par les équations de l'élasticité linéaire est une plaque, c'est-à-dire un corps tri-dimensionnel qui est le produit de sa surface moyenne omega par le (petit) intervalle [- epsilon, epsilon]. La surface moyenne est plate (courbures zéro). Les conditions aux limites traditionnelles sont d'imposer la traction sur les deux faces de la plaque qui sont identiques à omega. Sur le troisième morceau du bord, sa partie latérale, on peut imposer différentes conditions aux limites. La plus "physique" est la condition de traction nulle (plaque libre), mais d'autres peuvent aussi être considérées, telle la condition d'encastrement, ou différentes conditions de support ou de glissement. Ces conditions pourraient être considérées comme provienant elles-même d'un autre passage à la limite, dans des situations où plusieurs matéraiux de rigidité différente sont accolés.
Le but est de dégager aussi précisément que possible le comportement du déplacement (et d'autres tenseurs caractéristiques, tels le taux de déformation ou les contraintes) lorsque l'épaisseur tend vers zéro, sous des hypothèses de comportement uniforme des forces volumiques et des tractions. Il s'avère que ce comportement n'est pas seulement réductible à la détermination d'une limite, mais consiste en un développement asymptotique en puissances entières de epsilon à 2 échelles. La première de ces échelles est standard et contient seulement les variables dans omega et la variable mise à l'échelle h/epsilon en épaisseur, alors que la deuxième est essentielement supportée au voisinage du bord latéral et contient deux variables mises à l'echelle h/epsilon et r/epsilon avec r la distance au bord latéral: ce sont les couches limites. Ces différentes échelles sont "visibles" via une approximation numérique bien conduite.
Nous analysons théoriquement et numériquement les "premières" valeurs propres de l'élasticité dans une plaque. Nous obtenons un développement en série en puissances entières de epsilon des valeurs propres de type flexion (qui se comportent en epsilon^2 ) et des valeurs propres de type membrane (qui se comportent en O(1) ).

Shells Une plaque n'est qu'une coque particulière: une coque générique a sa surface moyenne courbe (c'est une variété plongée dans R^3).
Si cette surface a ses courbures principales du même ordre de grandeur que son épaisseur, il convient d'intégrer la coque correspondante dans une famille de coques faiblement courbées pour laquelle les surfaces moyennes se représentent par une carte au-dessus d'une variété immergée dans R^2 de la forme (x_1,x_2) --> (x_1,x_2, epsilon * phi(x_1,x_2) ) . Dans ce cadre, nous exhibons un développement asymptotique qui est essentiellement de même nature que dans les plaques.
Pour une "vraie" coque, des outils basés sur des séries formelles d'opérateurs permettent de réduire de facon rigoureuse les équations tri-dimensionnelles (sans conditions aux limites latérales) à des équations sur la surface moyenne. Utilisé en combinaison avec une analyse multi-échelle, ces outils permettent de décrire le développement asymptotique du déplacement dans le cas de coques elliptiques encastrées sur leur bord latéral. Aux deux échelles déjà présentes dans les plaques et les coques faiblement courbées s'ajoute une troisième, dont la longueur caractéristique est epsilon^{1/2}. De plus le développement est en puissances demi-entières de epsilon.
 

Edge and Corners

This topics covers the investigation of elliptic boundary value problems in domains with conical points, curved edges, or polyhedral corners. Transmission conditions between subdomains possessing the same sort of singular regions can also be handled.

Project GLC. This ongoing project is named after the initials of Grand Livre des Coins. It addresses regularity properties of solutions in weighted analytic classes, with the objective of approximation by the hp-version of finite elements. An overview of the theory of singularities is to be presented, including self-contained proofs.

Exponents of singularities. Aux coins polygonaux ou le long des arêtes polyédrales, les types singuliers des solutions de problèmes aux limites elliptiques, tel ceux de l'élasticité, sont de la forme r^lambda phi(theta) avec (r,theta) des coordonnées polaires centrées au coin ou le long de l'arête. Les quantités lambda sont des nombres complexes appelés exposants de singularité. Dans le cadre de l'élasticité générale anisotrope multi-matériaux, nous avons, basé sur des formules semi-analytiques, bâti le code de calcul EXSIEL pour calculer les lambda et les parties angulaires phi.

Crack asymptotics. The geometry near a regular crack front can be described by an edge of opening 2*pi . The general theory a priori applies. But we can say more...
Dans la situation où la singularité de la géométrie vient d'une fissure ou d'un écran, le modèle bi-dimensionnel est un secteur d'angle 2*pi, alors que dans la situation générale, ce seteur peut avoir n'importe quelle ouverture entre 0 et 2*pi. Le cas de l'angle 2*pi induit des valeurs particulières pour les exposants de singularités: si la même condition aux limites est imposée de chaque côté de la fissure ces exposants sont égaux à 1/2, 3/2, 5/2, etc... Pour un opérateur fortement elliptique, et pour les équations de l'élasticité, si les conditions de Dirichlet sont imposées d'un côté de la fissure et les conditions de Neumann de l'autre, la partie réelle des exposants est égale à 1/4, 3/4, 5/4, etc...
Not only we know the singularity exponents, but we have proved that no logarithmic terms appear in the asymptotics, although resonances between exponents and their shifts by integers would predict logarithms in general.

Contact problems. La motivation vient d'un problème d'élasticité dans un domaine régulier où une partie du bord est libre et l'autre est en contact raide. Un problème modèle possédant les mêmes caractéristiques est traité. Il s'agit du Laplacien dans un domaine plan régulier avec condition de Neumann sur une partie du bord et de la forme "epsilon Neumann + Dirichlet". C'est un problème de perturbation singulière. L'originalité de ce problème est le changement de nature de la singularité principale solution aux points de transition entre les deux types de conditions aux limites: pour chaque epsilon > 0 fixé cette singularité est en r (log r) avec r la distance à chaque point de transition, alors qu'à la limite, la singularité est en r^{1/2}.
Nous avons démontré des résultats de développements asymptotique en puissance entières de epsilon où interviennent des coefficients indépendants de epsilon et des couches coins dont l'échelle est (x/epsilon, y/epsilon) et dont les profils font la jonction entre les deux types de singularité. Nous avons d'autre part étudié une méthode numérique pour améliorer l'approximation via la réduction au bord par équationhs intégrales qui consiste à ajouter à l'espace discret différentes puissances de r s'étageant entre 1/2 et 1.

Singularly perturbed boundaries. This covers the situations where a polygonal domain has a thin coating with different material properties, inducing different coefficients in a second order elliptic equation. And also the cases where the domain has almost corners where the curvature radius epsilon is very small, or small cracks of length epsilon tending to zero. The results can be expressed thanks to two- or three-scale asymptotics involving various powers of epsilon.

Polynomial Approximation. Les méthodes spectrales sont la combinaison d'une approximation de Galerkin à l'aide d'espaces de fonctions polynomiales par morceaux où le maillage est fixé et le degré augmente, et de formules de quadrature très économiques (sous-intégration par rapport aux méthodes standard).
Nous avons combiné les méthodes spectrales avec l'analyse de Fourier angulaire pour construire une approximation numérique "Fourier-spectrale" dans les domaines tridimensionnels axisymétriques. Le domaine méridien est supposé polygonal et une attention particulière est portée à l'approximation des singularités. La convergence obtenue est exponentielle par rapport à la fréquence de coupure angulaire si le second membre est analytique et algébrique par rapport au degré des polynomes associés à la partie spectrale de l'approximation sur le domaine méridien.
En vue de méthodes de décomposition de domaine, nous étudions les possibilités de relèvement de traces polynomiales ou non sur les côtés d'un polygone ou les faces d'un polyèdre, par des fonctions polynomiales ou régulières.