Matthieu Romagny


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        Groupe de travail sur les schémas en groupes sur un corps et les groupes réductifs, année 2021, Rennes.

        Participants : Aurore Boitrel, Alice Bouillet, Raoul Hallopeau, Pierre Houédry, Victor Lagrandmaison,
        Matilde Maccan, Théo Mangenot, François Maucourant, Matthieu Romagny.

        La référence principale est le livre Algebraic groups -- the theory of group schemes of finite type over a field de J. Milne.

        Programme


8 mars 2021       Introduction : panorama sur les groupes algébriques (Matthieu)    
22 mars 2021       Schémas de type fini sur un corps (Matthieu)    
29 mars 2021       Représentations linéaires (Alice et Matilde)    
6 avril 2021 (mardi)       Quotients par des actions de groupes algébriques, 1 (Matthieu)    
12 avril 2021       Quotients par des actions de groupes algébriques, 2 (Matthieu)    
26 avril 2021       Exercices : quotients de 𝔾a et de 𝔾m
3 mai 2021       Exercices : groupes affines lisses connexes de dimension 1
10 mai 2021       Algèbres de Lie (Alice)    
17 mai 2021       Groupes diagonalisables (Matilde)    
25 mai 2021 (mardi)       Groupes de type multiplicatif (Matthieu)    
3 juin 2021 (jeudi)       Actions de tores sur des schémas (Victor)
7 juin 2021       Groupes unipotents (Matilde)
14 juin 2021       Sous-groupes de Borel, partie 1 (Matthieu)    
14 septembre 2021       Exemples
30 septembre 2021       Sous-groupes de Borel, partie 2 (Matilde et Matthieu)    
7 octobre 2021       Sous-groupes de Borel, partie 3 (Matthieu)    
13 octobre 2021       Variété des Borels. Centralisateurs de tores (Matilde)
20 octobre 2021       Systèmes de racines (Raoul)
27 octobre 2021       Groupes de rang semi-simple 1, partie 1 (Matilde)
17 novembre 2021       Groupes de rang semi-simple 1, partie 2 (Matilde)
1 décembre 2021       Structure des groupes réductifs scindés, partie 1 (Matthieu)    
7 décembre 2021       Structure des groupes réductifs scindés, partie 2 (Matthieu)    
          




          Programme détaillé

        (8 mars) Panorama sur les groupes algébriques
        Exemples : groupes d'automorphismes, groupes d'unités, groupes de Picard
        Théorèmes de structure généraux : étale/connexe, lisse/infinitésimal, var abélienne/affine, réductif/unipotent

        (22 mars) Schémas de type fini sur un corps
        Schémas (géométriquement) connexes, (géométriquement) réduits, lisses
        Topologie des groupes algébriques

        (29 mars) Représentations linéaires (Milne chap 4)
        Définitions : foncteur V_a (2.6), représentations (4.a), stabilisateurs (4.b, prop 4.3)
        Plongement dans GL_n : 4.c et 4.d, th 4.9 et cor 4.10
        Théorème de Chevalley : 4.27

        (6 et 12 avril) Quotients par des actions de groupes algébriques (Milne chap 5 +App B)
        Action d'un groupe algébrique sur un schéma
        Quotient par un sous-groupe dans le cas affine, quotient dans le cas général

        (10 mai) Algèbres de Lie (Milne chap 10)
        Définition abstraite : 10.1
        Algèbre de Lie d'un groupe algébrique : en termes d'espace tangent (10.6) et de dérivations (10.28)
        p-algèbres de Lie : 10.39
        Représentation adjointe : 10.d
        Exemple de Chevalley (10.i), interprétation comme produit semi-direct

        (17 mai) Groupes diagonalisables (Milne chap 12)
        Description de D(M) : prop. 12.3, lemme 12.4
        Propriétés élémentaires : remarque 12.5
        Équivalence de catégories exacte entre groupes abéliens de type fini et groupes diagonalisables : théorème 12.9
        Corollaire : si G=D(M) alors Aut(G) est discret
        Diagonalisabilité des représentations : théorème 12.12, remarque 12.13

        (25 mai) Groupes de type multiplicatif (Milne chap 12)
        Définition
        Caractérisations : théorème 12.18, points (a)(b)(d)
        Description à l'aide de modules galoisiens : th. 12.19
        Extension d'un groupe de type multiplicatif fini par un tore : corollaire 12.24
        Exemples : 12.27, 12.28
        Densité des sous-groupes finis : 12.32

        (3 juin) Actions de tores sur des schémas (Milne chap 13)
        Lissité des points fixes (th. 13.1) et conséquences (13.9)
        Définition de U(λ), Z(λ), P(λ) (paragraphe 13d) utiles pour l'exposé sur les groupes de rang semi-simple 1
        Lissité de Z(λ) (th. 13.1) et de U(λ) et P(λ) (th. 13.33, admis)

        (7 juin) Groupes unipotents (Milne chap 14)
        Définition ; caractérisations (th. 14.5) et corollaires (14.6 à 14.9)
        "Orthogonalité" avec les groupes de type multiplicatif (prop. 14.16, cor. 14.17 et 14.18)
        Nilpotence (prop. 14.21)
        Lien avec la représentation adjointe (prop. 14.23)
        Propriétés de 𝔾a (par. 14.f)

        (14 juin) Sous-groupes de Borel, 1 (Milne chap 17)
        Théorème du point fixe de Borel (17.1, 17.3)
        Sous-groupes de Borel : caractérisation par la propreté de G/B (17.6, 17.9)
        Conjugaison des Borel et conjugaison des tores maximaux (17.9, 17.10)

        (30 septembre) Sous-groupes de Borel, 2 (Milne chap 17)
        Rappel rapide de l'exposé 1
        Exemples qui montrent la nécessité des hypothèses « lisse, connexe, résoluble » dans le th. de point fixe de Borel
        La variété des Borels ℬ (isom à G/B) et l'ensemble ℬT des Borels contenant un tore max donné (prop 17.53).
        Le groupe de Weyl W(G,T) (déf 17.41 utilisant cor. 12.40 pour finitude)
        Théorème de densité (17.33 et cor 17.34)

        (7 octobre) Sous-groupes de Borel, 3 (Milne chap 17)
        Sous-groupes paraboliques (17.15, 17.16, 17.17), connexité et normalisateur (avec th. de Chevalley 17.48 admis et cor 17.49)
        Exemples de groupes sur des corps non algébriquement clos : tores maximaux scincés ou non, conjugués ou non, groupes sans Borel

        (13 octobre) Sous-groupes de Borel, 4 (Milne chap 17)
        La variété des Borels
        Borels contenants un tore maximal fixé T, action libre et transitive du groupe de Weyl
        Centralisateurs de tores (lissité et connexité)

        (20 octobre) Systèmes de racines (Serre)
        Exposé du chapitre V du livre de Serre, Complex semisimple Lie algebras

        (27 octobre) Groupes de rang semi-simple 1 (Milne chap 20)
        Isomorphisme G/B≃ℙ¹ et morphisme G→Aut(G/B) (th. 20.16 et 20.22)
        Classification des groupes réductifs scindés de rang semi-simple 1 (th. 20.33)
        Exemples

        (10 novembre) Structure des groupes réductifs scindés (Milne chap 21)
        Centralisateurs de tores maximaux:
                pour G lisse connexe quelconque: lissité (rappel de 13.9 et 13.10) et connexité (17.38)
                pour G réductif: réductivité (description de Chevalley pour Ru(G), 17.56 admis et 17.59)

        (17 novembre, si envie) Représentations des groupes réductifs