Soit G un groupe et E l'ensemble de ses éléments d'ordre fini. Montrer que si E est fini, c'est un sous-groupe de G.


Quitte à remplacer G par le sous-groupe engendré par E, on peut supposer que E engendre G. La question revient alors à montrer que G est fini.

Écrivons E={e1,...,er}. Pour chaque (i,j), l'élément eiejei−1 est d'ordre fini, donc de la forme eσ(i,j). On a donc eiej=eσ(i,j)ei. De plus, clairement, si ij alors σ(i,j) ≠ i.

On va montrer que tout gG a une écriture de la forme g=(e1)a1... (er)ar , avec ai∈{0,1}, ce qui montrera que G a au plus 2r éléments. Comme E engendre G, on peut écrire g=ei1... eis où on suppose la longueur s choisie minimale. Utilisant les relations erej=eσ(r,j)er , on voit que si l'un des ik est égal à r on peut le faire passer à droite, de sorte à avoir à la fin g=ei'1... ei's−1er. Alors, aucun des indices restants n'est égal à r, car sinon on le passerait de nouveau à droite et on ferait diminuer la longueur puisque (er)2E. Pour la même raison, dans la suite, si on utilise les relations eiej=eσ(i,j)ei pour transformer ei'1... ei't, l'élément er ne pourra jamais apparaître. On itère alors ce procédé avec ei'1... ei't pour faire passer er−1 à droite, etc.


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