Modifications le 13/01

• Lemme 2.1.3 : j’ai corrigé la preuve, qui contenait plusieurs erreurs :

1) au début de la preuve, on ne sait pas que A_U[1/r]→ A[1/a] est de présentation finie. En fait, c’est la seconde partie de la preuve (une fois corrigée) qui le montre.

2) dans la suite de la preuve, b n’est pas dans R[t_ij] si l’on n’inclut pas les a_i et les coefficients d’une partition de l’unité dans le système de générateurs.

Modifications le 16/01

• Lemme de Nakayama 1.3.1 : j’ai complété la preuve pour montrer que le sous-module N engendré par x₁,…,x_n−1 vérifie l’hypothèse N=IN.

• Lemme 2.1.9 : j’ai précisé les hypothèses sur le système projectif (F_i) dans l’énoncé.

Modifications le 21/01

• Théorème 2.3.15 sur la platitude des hypersurfaces : j’ai ajouté dans le cours un corollaire 2.3.16 qui donne la traduction géométrique de ce résultat, et une remarque 2.3.17 qui discute les hypothèses.

Modifications le 24/01

• Remarque 1.4.8 sur les morphismes affines : je l’ai un peu modifiée et ai ajouté une référence à [EGA].

• J’ai ajouté un exercice 1.4.9 qui explique quand un morphisme Spec(A)→ S est affine. Ceci est utile au cours d’une preuve (lemme 2.4.6, ex-2.4.5, cf ci-desous) dans la section sur la théorie de la descente.

• Exemple 2.3.24 : j’ai ajouté ici une explication plus complète sur les immersions fermées et la platitude.

• Définition 2.4.2 : j’ai ajouté ici la définition d’un recouvrement fppf.

• Exercice 2.4.3 : j’ai transformé cet exercice en lemme, avec preuve.

• Lemme 2.4.5 (qui s’appelle maintenant 2.4.6) : j’ai amélioré la rédaction de la preuve de la partie (2).

• Théorème 2.4.6 (qui s’appelle maintenant 2.4.7) : j’ai remanié l’énoncé et la preuve.

Modifications le 14/02

• Exercice 2.4.5 : j’ai ajouté ici un exercice sur le foncteur Hom_S(F,G). Cet exercice remplace la remarque 5.2.5 que j’ai enlevée.

• Exemples 3.3.4 : toute immersion localement de présentation finie est non ramifiée.

• Preuve de 3.5.2, cas lisse, (2) ⇒ (1) : modifié la rédaction de la preuve.

• Définition des groupes de cohomologie de Cech, juste avant 3.5.3 : remplacer H^k(U,F)=ker(d^k+1)/im(d^k) par H^k(U,F)=ker(d^k)/im(d^k−1).

• 4.2.6 : remplacer s_{λ(j0),…,λ(jk)}|_Vi0,…,ik par s_{λ(j0),…,λ(jk)}|_Vj0,…,jk.

• 4.2.6 : j’ai complété un peu l’explication sur le fait que la limite inductive qui sert à définir le groupe H^k(X,F) est filtrante, ajouté une remarque avant la preuve de 4.2.7 sur le fait que O_X^× n’est pas quasi-cohérent et une remarque dans la preuve de 4.2.7.

• Preuve de 4.2.7 : j’ai modifié le dernier diagramme pour respecter la logique des notations.

• 4.2.8, 4.3.3 : j’ai ajouté des propositions 4.2.8 et 4.3.3 sur le calcul du groupe de Picard de l’espace affine (en fait, d’un schéma affine intègre factoriel) et de l’espace projectif.

• Preuve de 5.4.2 : remplacé plusieurs fois v_*O_T par u_*O_T.

Ce document a été traduit de L^AT_EX par H^EV^EA