Soient X un schéma, x∈ X un point, U et V deux voisinages ouverts affines de x. Alors, il existe un voisinage ouvert affine de x qui est un ouvert distingué dans U et dans V.

Notons U=Spec(A) et V=Spec(B). Comme les ouverts distingués d’un schéma affine forment une base de la topologie, on peut choisir f∈ A tel que x∈ Spec(A_f)⊂ Spec(B), puis g∈ B tel que x∈ Spec(B_g)⊂Spec(A_f). On a donc des morphismes d’anneau r:B→ A_f et s:A_f→ B_g. On voudrait que ces morphismes induisent des isomorphismes inverses l’un de l’autre entre A_f et B_g. Si on veut que r se factorise par B_g, il faut que r(g) soit inversible. Pour cela il faudra localiser encore une fois. Notons a/fⁿ=r(g), alors r induit un morphisme r′:B_g→ A_af. Par ailleurs, s∘ r:B→ B_g est le morphisme canonique donc g/1=sr(g)=s(a)/s(f)ⁿ. Ainsi s(af)=gs(f)ⁿ⁺¹ est inversible dans B_g, donc s induit un morphisme s′:A_af→ B_g qui est un inverse pour r′. Donc le voisinage Spec(A_af)=Spec(B_g) répond à la question.

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