Soit f:X→ S un morphisme de schémas. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

   (1) il existe un recouvrement ouvert affine {V_i} de S tel que f⁻¹(V_i) est affine, pour tout i.

   (2) pour tout ouvert affine V de S, f⁻¹(V) est affine.

   (3) pour tout schéma affine V et tout morphisme V→ S, le produit fibré X×_S V est un schéma affine.

Si ces conditions sont vérifiées, on dit que f est un morphisme affine ou que X est affine sur S. Les propriétés élémentaires des morphismes affines, dont l’équivalence entre les trois conditions ci-dessus, sont discutées dans Hartshorne, chap. II, ex. 5.17, et dans les 10 premières pages de EGA2 (Publ. Math. IHES no. 8, disponible sur internet à l’adresse http://www.numdam.org) que vous pouvez feuilleter avec profit (N.B. au temps de la rédaction de EGA, on appelait préschéma ce qu’on appelle aujourd’hui schéma, et schéma ce qu’on appelle aujourd’hui schéma séparé).

Voici quelques faits que vous pourrez démontrer en exercice.

1. Soit S un schéma. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

   (1) tout morphisme Spec(A)→ S depuis un schéma affine est affine,

   (2) la diagonale Δ:S→ S× S est un morphisme affine.

En particulier, tout morphisme Spec(A)→ S est affine si S est séparé.

2. Voici un exemple d’un morphisme Spec(A)→ S qui n’est pas affine. Soit k un corps, U=A²=Spec(k[x,y]) le plan affine, O∈ U l’origine, U₀=U∖{O}. Alors l’application de restriction Γ(U,O_U)→Γ(U₀,O_U0) est un isomorphisme (pour calculer les fonctions globales sur U₀, le recouvrir par D(x) et D(y)). En conséquence, U₀ n’est pas affine.

Soit S le plan affine avec origine dédoublée, i.e. le schéma obtenu en recollant deux copies U,V du plan affine le long des ouverts complémentaires de l’origine U₀,V₀. Les schémas U,V s’identifient à des ouverts affines de S qui le recouvrent. Le schéma S est non séparé. L’immersion ouverte U→ S n’est pas un morphisme affine.

3. Pour tout entier n≥ 2, on a les mêmes résultats que dans l’exercice précédent avec Aⁿ au lieu de A². En revanche, le cas n=1 est particulier. Soit U=A¹=Spec(k[x]) la droite affine, O∈ U l’origine, U₀=U∖{O}. Alors U₀ est affine. Soit X la droite affine avec origine dédoublée, obtenue comme ci-dessus en recollant deux copies U,V de la droite affine. Alors le schéma X est non séparé, mais sa diagonale est un morphisme affine et l’immersion ouverte U→ X est un morphisme affine.

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