Licence SFNE, UE Maths LG310
Corrigé du TD 7
Exercice 1
Appliquons d'abord la formule qui donne le volume d'une pyramide ou
même d'un cône plus général : aire de la base ×
hauteur, divisé par 3. On trouve V=a3/6. On peut retrouver ce
résultat ainsi : on considère un cube de côté a, donc de
volume a3. Si on trace toutes ses diagonales on voit qu'on le
découpe en exactement 6 pyramides (une par face) qui sont
isométriques à la pyramide de l'exercice. Donc le volume d'une
pyramide est le sixième du volume du cube, soit encore a3/6.
Exercice 2
En découpant le cube comme indiqué, on obtient 3 pyramides que
l'on peut qualifier de "rectangles" au sens où le sommet est situé
sur la droite orthogonale à la base et passant par un sommet. (Ainsi
les faces triangulaires de la pyramide sont des triangles rectangles.)
Les faces de la pyramide sont :
-
la face carrée de côté a,
- deux faces triangles rectangles isocèles de côtés a, a
et a2,
- deux faces triangles rectangles non isocèles
de côtés a, a2 et a3 (le côté a3
est une diagonale "intérieure" du cube).
Le volume de chacune des trois pyramides, donné par la formule "aire
de la base × hauteur, divisé par 3" est a3/3. On retrouve
cela en disant que le volume du cube est a3 et que le volume de
chaque pyramide en vaut un tiers.
Exercice 3
Le volume du cornet est donné par "aire
de la base × hauteur, divisé par 3" et celui de la demi-boule
est donné par 1/2× 4/3p r3. On trouve
Exercice 4
Il y a sans doute beaucoup de façons de faire. Je vous propose de
considérer le plan horizontal qui coupe le cube en deux moitiés
égales, on constate qu'il découpe le polyèdre qui nous
intéresse en deux pyramides symétriques l'une de l'autre. Les
bases de ces pyramides sont carrées de côté
a2/2, et la hauteur est a/2. Donc le volume de
chaque pyramide est
Le volume du polyèdre est donc a3/6.
Exercice 5
a) les conditions sont que A''B=A'''B, A'''C=A'C et A'D=A''D.
b)
c) Soit EFGH un carré de côté 2a, on souhaite placer
deux points I sur le côté [FG] et J sur le côté [HG],
tels que lorsqu'on replie on obtienne un tétraèdre. On sait qu'on
doit avoir FI=IG et HJ=JG donc I doit être le milieu de [FG]
et J le milieu de [HG]. On obtient ainsi le seul patron
possible. Soit O le sommet obtenu après pliage, en collant F,
G et H. Soit H le pied de la hauteur du tétraèdre issue de
O et K le milieu de [IJ].
Pour calculer le volume du tétraèdre on prend le
triangle EIJ pour base et on calcule la hauteur OH. Pour calculer
l'aire de EIJ on retranche trois petits triangles au carré EFGH
d'aire 4a2. On trouve A(EIJ)=3a2/2. Maintenant faisons un
dessin dans le plan médiateur de [IJ], c-à-d le plan (OEH),
qui coupe le tétraèdre en une section triangulaire dont on peut
calculer les côtés par Pythagore. On trouve que c'est un triangle
rectangle de côtés 2a, a2/2 et 3a2/2. La
hauteur OH dessine dans ce triangle
deux petits triangles rectangles. Soit a=OEH=HOK.
En calculant cos(a) de deux manières différentes on trouve
OH=2a/3. On en déduit le volume du tétraèdre :
Remarque : dans le TD 6 on a vu la formule de Héron qui
permet de calculer l'aire d'un triangle en fonction seulement des
longueurs des côtés a, b, c. En dimension 3 il existe une
généralisation de cette formule, appelée formule du
déterminant de Cayley-Menger, qui permet de calculer le volume
d'un tétraèdre en fonction des longueurs des côtés a, b,
c, d, e, f. Mais bien sûr elle n'est pas aussi simple que la
formule de Héron !
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