Licence SFNE, UE Maths LG310

Corrigé du TD 4


Exercice 1
(1)
La première inégalité revient juste à dire que a+b-2√(ab)=(√a-√b)2 ≥ 0.

Pour la deuxième, comme a+b ≤ a+b+2√a√b=(√a+√b)2, en prenant la racine carrée on trouve √(a+b) ≤ √a+√b.
(2)
En utilisant l'inégalité (*) avec a=un-1 et b=vn-1 on trouve immédiatement un ≤ vn.
(3)
D'après la question (2), pour tout n on a vn+1=1/2(un+vn) ≤ 1/2(vn+vn)=vn, donc (vn) est décroissante.
(4)
D'après la question (2) encore, on a vn ≥ un donc √vn ≥ √un. En multipliant cela par √un on déduit un+1=√un√vn ≥ √un√un=un, donc (un) est croissante.
(5)
Utilisons l'inégalité (**) avec a=un et b=vn-un, alors a+b=vn et donc on obtient √vn ≤ √un+√(vn-un). Ainsi
0 ≤ √vn-√un ≤ √(vn-un)
où l'inégalité 0 ≤ √vn-√un provient directement de la question (2). Cette inégalité est primordiale pour avoir le droit délever au carré (voir exercice 4), ce que nous faisons maintenant :
0 ≤ (√vn-√un)2 ≤ vn-un
En développant le carré on en déduit que vn-2√(unvn)+un ≤ vn-un et donc, en divisant par 2, on obtient l'inégalité demandée vn+1-un+1 ≤ 1/2(vn-un).
(6)
En utilisant la question (5), la récurrence est immédiate, on obtient 0 ≤ vn-un ≤ 1/2n(v0-u0) et donc par le théorème des gendarmes, vn-un tend vers 0. En conclusion (un) et (vn) sont adjacentes, donc elles convergent toutes les deux.


Exercice 2
(1)
La limite de g en -∞ est -∞, sa limite en +∞ est +∞, de plus g(0)=2 et g(1)=-7. En utilisant trois fois le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que g a (au moins) un zéro dans chacun des trois intervalles ]-∞;0], [0;1] et [1;+∞]. Comme un polynôme de degré 3 a au plus 3 zéros, on les a tous trouvés.
(2)
Profitons de l'occasion pour faire quelques commentaires sur les valeurs approchées, sur la méthode de dichotomie et ses variantes, et corriger une imprécision dans le cours. D'abord quelques définitions : Il est clair qu'il existe une infinité de valeurs approchées par défaut, ou par excès, de b.

Il est démontré dans le cours qu'il n'y a qu'une valeur approchée de b à 10-n près par défaut qui soit un nombre décimal avec moins de n chiffres après la virgule, et telle que de plus b<v+10-n (dans le cours, voir paragraphe 2.4, la dernière condition est oubliée). On appelle cette valeur l'approximation décimale de b à 10-n près par défaut. De même il existe une unique approximation décimale de b à 10-n près par excès qui est l'unique valeur approchée de b à 10-n près par excès qui soit un nombre décimal avec moins de n chiffres après la virgule, et telle que de plus v-10-n<b. On l'appelle l'approximation décimale de b à 10-n près par excès. La condition b<v+10-n dans la définition de l'approximation décimale à 10-n près par défaut sert à garantir que cette valeur est unique : sans cette condition, le nombre b=0,1 pourrait avoir deux approximations décimales à 10-1 près par défaut, à savoir 0 et 0,1 (vérifiez-le en l'écrivant !)

De retour à l'exercice, pour calculer des approximations de b, faisons l'observation suivante. Si on sait que b est dans un intervalle [s;t] de longueur L (c'est-à-dire L=t-s) alors le milieu de l'intervalle x=(s+t)/2 est une approximation de b à L/2 près. (Vérifiez-le en exercice.) Ainsi, si on cherche une approximation à 0,1 près, il suffit de trouver un intervalle contenant b et de largeur 0,2 (ou moins).

Pour appliquer la méthode de dichotomie on procède donc ainsi : On peut s'arrêter là car le dernier intervalle a une largeur inférieure à 0,2, donc le milieu de l'intervalle est une valeur approchée à 0,1 près. Ainsi 0,3125 est une valeur approchée de b à 0,1 près (parfois, on écrit que b ≈ 0,3125 à 0,1 près, ou même que b = 0,3125 à 0,1 près, ce qui est clairement un abus de langage). Notez que par cette méthode on n'obtient pas l'approximation décimale de b à 10-1 près par défaut, ni celle par excès.

On peut procéder différemment. Puisqu'on cherche un intervalle de largeur inférieure à 0,2 contenant b, on peut couper l'intervalle [0;1] en les 5 intervalles [0;0,2], [0,2;0,4],..., [0,8;1] et voir dans lequel est b. On peut s'arrêter à g(0,4) puisque le changement de signe se produit entre 0,2 et 0,4. On en déduit que b ∈ [0,2;0,4] et donc le milieu de l'intervalle : 0,3 est une valeur approchée de b à 0,1 près.

Pour obtenir l'approximation décimale de b à 10-1 près par défaut, qui n'est pas demandée dans l'exercice, il faut travailler un peu plus et calculer g(0,3)=-0,343. Comme cette valeur est strictement négative on déduit que b ∈ [0,2;0,3[ donc l'approximation décimale de b à 10-1 près par défaut est 0,2.

(3)
Raisonnons pas l'absurde et supposons que b est un nombre rationnel, b=p/q avec p et q entiers positifs premiers entre eux. En remplaçant dans l'équation satisfaite par b on a :
(
p
q
)3-3× (
p
q
)2-7×
p
q
+2=0
d'où p3-3p2q-7pq2+2q3=0. On en déduit que q divise p et p divise 2q. Comme p et q sont premiers entre eux on doit avoir q=1, et p=1 ou p=2. Comme 0<b<1 on voit que c'est impossible.


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