Licence SFNE, UE Maths LG310




Corrigé du TD 3






Exercice 1 Si tous les facteurs premiers qq,...,qr qui divisent p apparaisssent avec une puissance paire dans sa DFP (notons alors ai=2bi la puissance de qi dans la DFP) alors p est carré puisque
p=q1a1... qrar=(q1b1... qrbr)2
L'hypothèse de l'énoncé est que p n'est pas un carré parfait, donc, il existe un facteur premier diviseur de p (notons-le q) et dont la puissance a dans la DFP de p n'est pas paire, c'est-à-dire qu'il existe un entier b tel que a=2b+1. On a donc p=q2b+1p' avec p' non divisible par q.

Par l'absurde, supposons que p est un nombre rationnel, et montrons qu'on arrive à une contradiction. Dans ce cas, il existe deux entiers premiers entre eux a,b tels que
p=a/b
On en déduit que a2=pb2=q2b+1p'b2. Soit i, resp. j, la puissance de q dans la DFP de a, resp. b. On peut donc écrire
a=qia'    et b=qjb'
avec a' et b' non divisibles par q. En reportant dans a2=q2b+1p'b2 on obtient :
q2i(a')2=q2b+1p'q2j(b')2=q2b+2j+1p'(b')2
On a à gauche un nombre dont la puissance de q dans la DFP est paire (2i) et à droite un nombre dont la puissance de q dans la DFP est impaire (2b+2j+1). Or ces nombres sont égaux. Par unicité des exposants dans la DFP, c'est impossible.





Exercice 2
(1)
Les dix premiers termes de la suite (un)n ∈N :
u1=
1
3
≈ 0,33333...
 
u2=
1
12
≈ 0,0833333...
 
u3=
1
27
≈ 0,037037037...
         
u4=
1
48
≈ 0,020833333...
 
u5=
1
75
≈ 0,013333...
 
u6=
1
108
≈ 0,009259259259...
         
u7=
1
147
≈ 0,00680272108844...
 
u8=
1
192
≈ 0,00520833333...
 
u9=
1
243
≈ 0,00411522633745...
         
   
u10=
1
300
≈ 0,00333333...
   
Les dix premiers termes de la suite (vn)n ∈N :
v1=
2
5
=0,4 ...
 
v2=
2
3
≈ 0,66666666...
 
v3=
6
7
≈ 0,857142857142...
         
v4=1 ...  
v5=
10
9
≈ 1,1111111...
 
v6=
6
5
=1,2
         
v7=
14
11
≈ 1,27272727...
 
v8=
4
3
≈ 1,33333333...
 
v9=
18
13
≈ 1,384615384615...
         
   
v10=
10
7
≈ 1,42857142857...
   
Les dix premiers termes de la suite (vn)n ∈N, à 10-6 près par défaut :
w1 ≈ 0,540302...   w2 ≈ -0,208073...   w3 ≈ -0,329997...
         
w4 ≈ -0,163410...   w5 ≈ 0,056732...   w6 ≈ 0,160028...
         
w7 ≈ 0,107700...   w8 ≈ -0,018187...   w9 ≈ -0,101236...
         
    w10 ≈ -0,083907...    
(2)
Cherchons un N tel que n≥N implique un ≤ 10-4. On veut donc
1
3n2
≤
1
104
ce qui équivaut à 104 ≤ 3n2 ou encore 104/3 ≤ n.

Choisissons N=E(104/3)+1, c'est un entier supérieur ou égal à 104/3, donc si n ≥ N alors n ≥ 104/3 et donc un ≤ 10-4 d'après ce qui précède. Comme un ≥ 0, on a a fortiori
-10-4 ≤ u ≤ n 10-4
(3)
La question (2) ne servait qu'à donner des idées pour démontrer celle-ci. En transposant la définition générale de xn admet x pour limite ssi... dans le cas de notre suite, on trouve que un admet 0 pour limite ssi (par définition !)
∀ ε >0, ∃ N ∈N*,  ∀ n ∈ N, n ≥ N  ⇒  -ε ≤
1
3n2
≤ε
Pour démontrer que un admet 0 pour limite, c-à-d que la phrase avec quantificateurs ci-dessus est vraie, on choisit un ε>0 et on doit montrer qu'il existe un entier N tel que la fin de la phrase soit vraie. Or, pour avoir 1/(3n2) ≤ε lorsque n ≥ N, il suffit de poser N=E(1/√(3ε))+1. On a bien, ainsi, dès que n ≥ N,
-ε ≤ 0 ≤
1
3n2
≤ε
Ceci démontre que un a 0 pour limite.
(4)
Dans cette question on ne démontre plus l'existence de limites en revenant à la définition comme ci-dessus, mais en utilisant les théorèmes usuels (cf le cours) sur les compositions, sommes (etc.) de limites. Pour la suite vn qui est une fraction rationnelle, on regarde les termes dominants au numérateur (c'est 2n) et au dénominateur (c'est n). Donc le comportement de vn est le même que celui de 2n/n=2, donc vn admet 2 pour limite. Pour wn on dit simplement que le cosinus est compris entre -1 et 1, donc
-
1
n
≤ wn=
cos(n)
n
≤
1
n
D'après le théorème des gendarmes, wn admet 0 pour limite.




Exercice 3 Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x3+x-1. Elle est continue car c'est un polynôme. Comme f(0)=-1 et f(1)=1, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un a ∈ ]0,1[ tel que f(a)=0.

De plus f est dérivable sur R (toujours car c'est un polynôme) et sa dérivée est f'(x)=3x2+1. La dérivée étant strictement positive sur R, f est strictement croissante. Comme elle est de plus continue, d'après le théorème de la bijection monotone, la fonction f est bijective sur R. Donc elle ne peut avoir qu'une racine sur R.

On va maintenant montrer que a n'est pas rationnel, en raisonnant par l'absurde. Si on avait a=r/s avec r,s entiers naturels premiers entre eux, alors en remplaçant dans l'équation dont a est solution on aurait
(
r
s
)3+
r
s
-1=0
En multipliant par s3 on a r3+rs2-s3=0. Ainsi s3=r3+rs2 qui est divisible par r, donc s doit être divisible par r, c'est en contradiction avec le fait que r et s sont premiers entre eux.





Exercice 4 On reconnaît une identité remarquable : en posant a=83875683470 on trouve x=a2-(a-1)(a+1)=1.





Exercice 5 On a 102000-2000=103(101997-2)=103× 9999... 998 (avec 1996 chiffres 9), c'est donc égal à 9999...998000. Donc la somme des chiffres est 9× 1996+8=9× (2000-4)+8=18000-36+8=17972.





Exercice 6 On multiplie haut et bas par la quantité conjuguée 1-√3 : Calculons
A=1+
2
1+√3
=1+
2(1-√3)
1-√3
=1-1+√3=√3
Pour B on peut faire des calculs dans le même genre, mais je vais être un peu plus astucieux en posant x=1+√3. L'idée maintenant, c'est d'exprimer 1/x en fonction de x. On a x2=1+2√3+3=2x+2. En divisant par x on en tire x=2+2/x donc 1/2x=1+1/x. Alors,
B=1+
1
1+
1
1+√3
=1+
1
1+
1
x
=1+
1
1
2
x
=1+
2
x
=x-1=√3
Enfin,
C =
(8n+1+8n)2
(4n-4n-1)3
=
82n(8+1)2
43n-3(4-1)3
=
26n× 81
26n-6× 27
=26× 3=192





Exercice 7 On suppose que a¹ 0, sinon on a une équation du premier degré et il est facile de trouver les solutions comme vous savez. Alors on écrit ax2+bx+c comme le début du développement du carré
a(x+
b
2a
)2 = a(x2+2x
b
2a
+
b2
4a2
)=ax2+bx+
b2
4a
Si on pose Δ = b2-4ac, cela donne :
ax2+bx+c = a(x+
b
2a
)2-
b2
4a
+c = a(x+
b
2a
)2-
Δ
4a
Donc ax2+bx+c=0 si et seulement si (x+b/2a)2 = Δ/4a2. Lorsque Δ<0 on voit qu'il n'y a pas de solution, lorsque Δ=0 on voit qu'il n'y a qu'une racine (double), et enfin lorsque Δ 0 on obtient l'expression bien connue des racines
x1 =
-b+√Δ
2a
  et   x1 =
-b-√Δ
2a



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