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Annexe

I. ANALYSE

Notions élémentaires sur les suites et les séries.

a) Propriétés fondamentales du corps R des réels: majorants, minorants, borne supérieure, borne inférieure. Toute partie non vide de R majorée admet une borne supérieure (admis). Aucune construction de R n'est au programme.

b) Convergence d'une suite de nombres réels; opérations sur les suites convergentes. Convergence d'une suite monotone; exemples de suites adjacentes.
Exemples d'études de suites définies par une relation de récurrence U_n+1=f(U_n).

c) Définition de la convergence d'une série à termes réels. Convergence des séries géométriques. Séries à termes positifs : comparaison des deux séries dans le cas où U_n ≤ V_n et dans le cas où U_n V_n. Comparaison à une intégrale; convergence des séries de Riemann. Comparaison à une série géométrique, règle de D'Alembert. Comparaison à une série de Riemann.
Séries absolument convergentes. Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers 0.

Fonctions d'une variable réelle

a) Fonctions à valeurs réelles: continuité, dérivation

1) Limite et continuité en un point. Opérations sur les limites. Limites d'une fonction monotone. Propriété fondamentale des fonctions continues (admise): l'image d'un intervalle (respectivement d'un segment) est un intervalle (respectivement un segment).
Continuité de la fonction réciproque d'une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle.

2) Dérivée en un point: dérivabilité sur un intervalle. Fonction dérivée. Opérations sur les fonctions dérivées. Dérivée de la composée de deux fonctions, d'une fonction réciproque.
Définition des fonctions de classe C^p, C. Dérivée n-ième d'un produit (formule de Leibniz).

3) Théorème de Rolle, formule des accroissements finis, inégalités des accroissements finis. Caractérisation des fonctions constantes, monotones et strictement monotones.

4) Etude locale des fonctions. Comparaison des fonctions au voisinage d'un point : fonction négligeable devant une autre, fonctions équivalentes (notation f g). Comparaison des fonctions exponentielle, puissance et logarithme au voisinage de .
Développements limités, opérations sur les développements limités. Formule de Taylor-Young. Développements limités des fonctions usuelles.

5) Fonctions usuelles: fonctions circulaires, circulaires réciproques, logarithmes, exponentielles, puissances, hyperboliques, hyperboliques réciproques.

b) Fonctions à valeurs réelles : intégration sur un segment

1) Linéarité de l'intégrale.
Si a ≤ b, .
Additivité par rapport à l'intervalle d'intégration. Somme de Riemann d'une fonction continue; convergence de ces sommes.

2) Primitives d'une fonction continue sur un intervalle Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral: si f est une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I, la fonction est l'unique primitive de f sur I s'annulant en a; inversement pour tout primitive F de f sur I et pour tout couple (a,b) de points de I, =F(b)-F(a).
Intégration par parties, changement de variable. Exemples de calcul de primitives notamment de fonctions rationnelles, de polynômes trigonométriques.

Formule de Taylor avec reste intégral.

3) Exemples de calcul de valeurs approchées d'une intégrale. Exemples de calculs d'aires planes, de volumes, de masses.

c) Fonctions à valeurs dans C

d) Notions sur les intégrales impropres

Equations différentielles

a) Définition sur un intervalle d'une solution d'une équation différentielle de la forme y'=f(x,y); courbe intégrale (aucun théorème d'existence n'est au programme).

b) Equation différentielle linéaire du premier ordre ay'+by=c où a,b,c sont des fonctions numériques continues sur un même intervalle. Recherche, sur un intervalle où a ne s'annule pas, de la solution satisfaisant à une condition initiale donnée.

c) Equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, dont le second membre est de la forme e^mtP(t), P étant un polynôme et m un réel ou un complexe.

Notions sur les séries de Fourier

a) Coefficients et série de Fourier d'une fonction 2-périodique continue par morceaux à valeurs complexes (expression sous forme exponentielle, expression en cosinus et sinus).

b) Théorème de Dirichlet (admis): convergence de vers la demi-somme des limites à droite et à gauche de f au point x lorsque f est de classe C¹ par morceaux. Formule de Parceval (admise): expression de l'intégrale du carré du module sur une période à l'aide des coefficients de Fourier lorsque f est continue par morceaux.
Exemples de développement en série de Fourier de fonctions d'une variable réelle.

Notions sur les fonctions de plusieurs variables réelles

II. ALGEBRE

1) Nombres complexes

a) Corps des nombres complexes; module d'un nombre complexe. Argument d'un nombre complexe non nul; notation eⁱ

b) Formule de Moivre. Formules d'Euler. Résolution de l'équation zⁿ=a. Applications trigonométriques de nombres complexes. Lignes de niveau des fonctions z z-a et zArg(z-a).

c) Transformations géométriques définies par z'=az+b, z'=z et z'=1/z

2) Polynômes et fractions rationnelles

a) Algèbre K[X] des polynômes à coefficients dans K (K est R ou C). Degré, division suivant les puissances décroissantes.
Racines, ordre de multiplicité d'une racine. Polynômes irréductibles sur C ou R. Factorisation. (La construction de l'algèbre des polynômes formels n'est pas au programme, les candidats n'auront pas à connaitre la notion de PGCD).

Fonctions rationnelles: pôles, zéros, ordre de multiplicité d'un pôle ou d'un zéro.
Décomposition en éléments simples dans R(X) et dans C(X) (admis).

3) Algèbre linéaire

a) Espace vectoriel sur le corps K (K=R ou C)

1) Espaces vectoriels, applications linéaires, formes linéaires.
Exemples fondamentaux: espaces des vecteurs du plan et de l'espace, espace Kⁿ.
Composition des applications linéaires, isomorphismes, endomorphismes, automorphismes. Groupe linéaire GL(E).

2) Combinaisons linéaires, sous-espace vectoriel, sous-espace vectoriel engendré par p vecteurs. Image et noyau d'une application linéaire. Espace vectoriel (E,F).

3) Espaces vectoriels de dimension finie
Dans un espace admettant une famille génératrice finie, définition des familles libres, des familles génératrices et des bases. Exemple fondamental: base canonique de ⁿ. Dimension. Rang d'une famille de p vecteurs.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires, projecteurs.

c) Matrices
Espace vectoriel M_p,q(K) des matrices à p lignes et q colonnes.
Isomorphisme entre ( K^q,K^p) et M_p,q(K).
Produit matriciel, transposition. Algèbre M_n(Kⁿ); matrices inversibles; groupe linéaire GL_n(Kⁿ).
Changement de base pour une application linéaire, matrice de passage.

d) Eléments propres.
Valeurs propres, vecteurs propres pour une application linéaire.
Diagonalisation en dimension 2 ou 3.

e) Déterminant d'une matrice.
Calcul du déterminant d'une matrice en dimension 2 et en dimension 3.

f) Systèmes d'équations linéaires.
Pratique de la méthode de Gauss pour la résolution de systèmes d'équations.

III. COMBINATOIRE - STATISTIQUES - PROBABILITÉS

1) Combinatoire

a) Nombre des applications d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments; nombre des injections; arrangements. Nombre des permutations d'un ensemble à n éléments.

b) Nombre des parties à p éléments d'un ensemble à n éléments, combinaison.

c) Formule du binôme.

2) Statistique descriptive

a) Analyse statistique d'une variable observée sur les individus d'une population. Exemples de variables qualitatives et de variables quantitatives: effectifs, fréquences, histogrammes.
Caractéristiques de position (moyenne, médiane, mode, quantile).
Caractéristiques de dispersion (variance, écart-type).

b) Analyse statistique élémentaire de deux variables observées sur les individus d'une population. Tableaux d'effectifs, fréquences marginales, fréquences conditionnelles.
Covariance et coefficient de corrélation linéaire. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droites de régression.

3) Probabilités

a) Probabilité sur les ensembles finis: vocabulaire des événements, probabilité, équiprobabilité.
Exemples simples de dénombrement.
Probabilités conditionnelles, événements indépendants.

b) Variables aléatoires

1) Définition d'une variable aléatoire à valeurs réelles. Evénements liés à une variable aléatoire.

2) Variables aléatoires discrètes:
Loi de probabilité. Fonction de répartition: F(x)=P(X ≤ x).
Moments: espérance, variance, écart-type.
lois discrètes usuelles: loi uniforme, de Bernoulli, binômiale, de Poisson.

3) Vecteurs aléatoires à valeurs dans R² discrets.
Loi de probabilité d'un vecteur à valeurs dans R². Lois marginales.
Indépendance de deux variables aléatoires réelles.
Linéarité de l'espérance mathématique. Espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes. Variance d'une somme de variables aléatoires, covariance.

4) Variables aléatoires à densité.
On dira qu'une variable aléatoire X à valeurs réelles admet une densité f si, quel que soit l'intervalle [a,b] de R, P(a ≤ X ≤ b)= où f est une fonction à valeurs réelles positives ayant un nombre fini de points de discontinuité et telle que =1.
Moments: espérance, variance, écart-type.
Lois définies par une densité usuelle: loi uniforme, exponentielle, normale.

IV. GEOMETRIE

1) Géométrie du plan et de l'espace

a) Calcul vectoriel
Produit scalaire, lien avec la norme et la distance. Expression dans une base orthonormale.
Relations métriques dans le triangle. Orthogonalité.
Produit vectoriel dans l'espace orienté.
Systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques, sphériques); changement de repère orthonormal.
Barycentre.

b) Configurations
Droites et plans: direction, parallélisme, intersection, orthogonalité. angle de deux droites, de deux plans, d'une droite et d'un plan. Distance d'un point à une droite (à un plan). Equations cartésiennes et représentations paramétriques des droites et plans. Equation normale.
Cercles dans le plan: équation cartésienne.
Sphères: équations cartésiennes. Intersection sphère et plan.
Coniques: équation réduite et équation paramétrique d'une conique en repère orthonormal.

c) Applications affines
Projections, affinités orthogonales; conservation des barycentres par une application affine.
Isométries du plan; réflexions, rotations, déplacements.
Exemples d'isométries de l'espace; réflexions, rotations, vissages.

2) Géométrie différentielle des courbes planes

a) Fonction d'une variable réelle à valeurs dans R²: limite, continuité, dérivée en un point; opérations sur les dérivées. Dérivée d'un produit scalaire, d'un produit vectoriel.
Fonction de classe C^p. Définition des développements limités.

b) Etude locale: point régulier; tangente. Etude de la position locale d'une courbe par rapport à une droite; branches infinies.
Exemples de construction de courbes paramétrées.