Pour montrer qu'un ensemble E est un espace vectoriel, la méthode la plus souvent utilisée est de considérer E comme un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel déjà connu. Pour appliquer cette méthode, il est donc utile de connaître un certain nombre d'espaces vectoriels. Voici ceux qui sont les plus utiles :

• Rⁿ et Cⁿ ;
• Les espaces de fonctions à valeurs réelles, où l'addition et la multiplication par un scalaire sont définies par : (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (λ f)(x)=λ f(x) ;
• Plus généralement les espaces de fonctions à valeurs dans un espace vectoriel, où l'addition et la multiplication par un scalaire sont définies comme ci-dessus ;
• Les espaces de suites de nombres réels ou de nombres complexes, où l'addition et la multiplication par un scalaire sont définies par (u+v)_n=u_n+v_n et (λ u)_n = λ u_n ;
• Les espaces de polynômes, à une ou plusieurs variables et à coefficients réels ou complexes ;
• Les espaces de matrices à p lignes et n colonnes à coefficients réels ou complexes, où l'addition et la multiplication par un scalaire sont définies par : (a+b)_i,j=a_i,j+b_i,j et (λ a)_i,j=λ a_i,j.