Il est très rare, à ce niveau, que l'on prouve qu'un ensemble est un espace vectoriel en utilisant cette définition: on utilise plutôt la notion de sous-espace vectoriel que l'on va introduire à la page suivante.

Notons tout de suite qu'il y a plusieurs façons de montrer qu'on a un sous-espace vectoriel:

• utiliser la définition ;
• introduire une application linéaire et exprimer l'ensemble comme l'image directe ou l'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de l'espace de départ ou l'espace d'arrivée de cette application (penser en particulier au noyau d'une application linéaire) ;
• écrire cet ensemble comme une intersection ou une somme d'espaces vectoriels ;
• exprimer cet ensemble comme l'ensemble des combinaisons linéaires d'un certain nombre de vecteurs ("Vect(...)")