Révision des notions de base de la géométrie projective: Carte affine, hyperplan à l'infini, transformation projective, birapport.
Chapitre 2:
Les différents modèles de l'espace hyperbolique.
Modèle de Klein, du $\frac12$-hyperboloïde, de la $\frac12$-sphère, boule conforme et $\frac12$-espace de Poincaré.
Chapitre 3:
Le plan hyperbolique via $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$.
Classification des isométries du plan hyperbolique. Description des géodésiques et des sphères du plan hyperbolique. Description rapide de l'espace hyperbolique via $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$, en particulier la classification des isométries.
Chapitre 4:
Le groupe des isométries de l'espace hyperbolique.
La décomposition $KAK$. La classification des isométries de l'espace hyperbolique de dimension $d$. Définition et étude des horosphères. L'espace hyperbolique est Gromov-hyperbolique.
Chapitre 5:
Action de groupe et topologie.
Variété topologique. Action errante, séparante, libre, proprement discontinue. Le lemme de Selberg. Classification des surfaces et découpage canonique.
Chapitre 6:
Groupe Kleinéen: notions de base.
Définition de groupe Kleinéen élémentaire/non-élémentaire. Définition de l'ensemble limite, du domaine de discontinuité. Premières propriétés de ces ensembles. Le domaine fondamental de Dirichlet. Définition de réseau du groupe des isométries des espaces hyperboliques. Un réseau est un groupe Kleinéen de 1ère espèce.
Chapitre 7:
Groupe Kleinéen: exemples.
Groupe de Schottky. Groupe arithmétique. Groupe Fuchsien. Théorème de Poincaré version Coxeter en dimension 2. Version lisse.
Chapitre 8:
Espace de Teichmüller.
Surface hyperbolique versus structure hyperbolique. Définition de l'espace de Teichmüller, de l'espace des modules et du Mapping Class group. Espace de Teichmüller d'un pantalon. Présentation des coordonnées de Fenchel-Nielsen.
Evaluation
Devoir Maison: Sujet donné le 14 octobre 2016 à rendre le 16 novembre 2016. Oral le Z. Les sujets:
Sujets des oraux de l'année dernière
Biblio
J. Stillwell. Geometry of surfaces. Intro très accessible à la géométrie des surfaces.
A. Beardon. The Geometry of Discrete Groups. Excellente intro pour commencer la géométrie du plan hyperbolique.
J. Radcliffe. Foundations of Hyperbolic Manifolds. Gros livre qui offre une intro très complète à la géométrie hyperbolique.
W. Thurston. Geometry and topology of three-manifolds. Disponible sur la page web du MSRI. Le classique incontournable de la géométrie et topologie des variétés de dimension 3. Le style peut surprendre...
M. Kapovich. Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups. Disponible sur la page web de M. Kapovich. Très bon livre qui contient beaucoup plus qu'une introduction à la géométrie hyperbolique. Idéal pour les motivés.
