Cours n° 1 du 8 septembre 2008 :

(le corps de base est arbitraire)

- définition des déterminants de taille n: par récurrence sur n, en développant selon la première ligne;

- exemples: n<=3, règle de Sarrus; matrices triangulaires;

Propriétés:

- multilinéaire en les colonnes;

- alterné en les colonnes (pas encore démontré).

Cours n° 2 du 15 septembre 2008 :

- le déterminant est alterné en les colonnes : démonstration.

- opérations élémentaires sur les colonnes

- calcul de déterminants: on admet provisoirement det(A)=det(transposée)

-- par opérations élémentaires;

-- développement suivant une ligne ou une colonne;

-- méthode du pivot;

-- cas de nullité (si lignes ou colonnes liées; réciproque plus tard).

- Permutations, groupe symétrique (début) :

- définition de S_n, loi de composition, identité, inverse.

- transpositions : définition

Cours n° 3 du 22 septembre 2008 :

- Tout élément de S_n (n>=1) est produit d'au plus (n-1) transpositions.

- Matrice d'une permutation sigma (notée M_K(sigma)): définition, propriétés élémentaires. Effet de la multiplication à droite par M(sigma) sur une matrice A (permutation des colonnes de A).

- Définition de la signature de sigma comme déterminant de M_Q(sigma).

- Propriétés de la signature (essentiellement le corollaire IV.9 de Grifone). Si A est dans M_n(K) et si alpha est produit de p transpositions, alors det(AM(alpha))=(-1)^p det(A).

- Formes multilinéaires: forme générale d'une forme p-linéaire sur K^n (comme combinaison linéaire de «produits» de formes coordonnées). Cas des formes n-linéaires alternées: formule générale avec somme sur S_n et signature.

- Application au déterminant: formule générale (somme sur S_n) (Grifone, prop. IV.10). Exemples: n=2 et n=3.

Cours n° 4 du 29 septembre 2008 :

- Applications des résultats précédents :

-- Il existe une unique forme n-linéaire alternée sur K^n envoyant la base canonique sur un c donné dans K. Elle est donnée par la formule

(v_1,...,v_n) -> c.det(v_1,...,v_n).

-- Conséquence : caractérisation du déterminant (n-linéaire alterné en les colonnes, envoie l'identité sur 1).

-- Déterminant de la transposée.

-- Déterminant d'un produit.

-- Caractérisation des matrices inversibles, déterminant de l'inverse.

- Formule des cofacteurs et formule d'inversion.

- Déterminant de n vecteurs par rapport à une base en dimension n : définition, formule de changement de base, critère d'indépendance linéaire.

- Déterminant d'un endomorphisme en dimension finie : définition, propriétés élémentaires.

Cours n° 5 du 6 octobre 2008 :

- Déterminants, mineurs et rang :

-- mineurs et bordants : définition.

-- Critère d'indépendance linéaire de p vecteurs en dimension n (utilisant tous les mineurs).

-- Corollaire : caractérisation du rang d'une matrice. Conséquence : rang de la transposée.

Remarque : à propos du rang, il y a une erreur dans Grifone: la proposition III.32 (rang de la transposée) p. 102 est admise «provisoirement» et annoncée comme conséquence du théorème (E) p. 161 (le rang par les mineurs), lequel repose en fait sur le théorème (C) (critère d'indépendance linéaire) qui utilise sans le dire la prop. III.32 (cf. milieu de la p. 160, «en regardant les vecteurs lignes...»).

-- Invariance du rang par changement de corps de base.

-- Critère d'appartenance au sous-espace engendré par p vecteurs indépendants (test des bordants d'un p-mineur non nul).

-- Généralisation aux matrices quelconques : caractérisation du rang (bordants d'un mineur non nul).

Chapitre II : systèmes d'équations linéaires.

- Notations générales : systèmes linéaires de p équations à n inconnues, matrice, rang, écriture matricielle.

Cours n° 6 du 13 octobre :

- Systèmes linéaires de p équations à n inconnues: interprétations vectorielles (antécédents par une application linéaire; espace engendré par les vecteurs colonnes).

-- Systèmes de Cramer, formules de Cramer.

-- Systèmes généraux, théorème de Rouché-Fontené.

-- Cas d'un système homogène.

Chapitre III : réduction des endomorphismes.

- Valeurs propres et vecteurs propres : définition, exemples.

Cours n° 7 du 20 octobre :

- Valeurs et vecteurs propres (suite) :

-- lien avec la diagonalisation (base formée de vecteurs propres) ;

-- sous-espaces propres : définition, exemples (cas diagonal notamment) ;

-- valeurs et vecteurs propres d'une matrice, polynôme caractéristique. Coefficients dominant et sous-dominant.

- Rappels sur les polynômes :

-- racines, multiplicités, polynômes scindés ;

-- corps algébriquement clos ;

-- théorème de d'Alembert (admis) ;

-- tout polynôme non nul est scindé dans un sur-corps (admis) ;

-- tout corps admet un sur-corps algébriquement clos (admis).

Cours n° 8 du 3 novembre :

- Polynôme caractéristique d'un endomorphisme : définition, propriétés (degré, coefficients remarquables). Multiplicité d'une valeur propre.

- Calcul matriciel par blocs :

-- produit par blocs ;

-- cas particulier: cas « triangulaire par blocs », multiplication des blocs diagonaux ;

-- déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

- Sous-espaces propres :

-- la dimension d'un sous-espace propre est majorée par la multiplicité de la valeur propre ;

-- dans le cas diagonalisable on a égalité, et le polynôme caractéristique est scindé.

-- Digression : somme de sous-espaces, somme directe, caractérisations diverses ;

-- les sous-espaces propres sont en somme directe ;

-- conséquence (démonstration la prochaine fois) : conditions équivalentes pour f dans End(E), dim E=n finie :

--- f est diagonalisable ;

--- somme des dimensions des sous-espaces propres = dim E ;

--- P_f est scindé et dim (sous-espace propre) = mult(valeur propre correspondante).

Cours n° 9 du 10 novembre :

-- Démonstration du résultat précédent.

-- Exemples (notamment : cas scindé à racines simples, matrices triangulaires).

- Extension du corps de base : valeurs et vecteurs propres d'une matrice dans une extension (ou surcorps) L de K ; valeurs propres d'un endomorphisme f (en dimension finie) dans L ; exemples.

- Trigonalisation :

-- définition (pour un endomorphisme ou une matrice), exemples ;

-- f est trigonalisable si et seulement si P_f est scindé ;

-- corollaires : cas algébriquement clos ; existence d'une extension « trigonalisante ».

- « Polynômes d'endomorphismes » :

-- définition de P(f) pour P dans K[X] et f dans End(E) ; propriétés de l'application P → P(f). Analogue pour les matrices, compatibilité ;

-- polynômes annulateurs ;

-- si l est valeur propre de f, alors P(l) est valeur propre de P(f).

Cours n° 10 du 17 novembre :

-- Si Q annule f, les valeurs propres de f sont racines de Q.

-- Théorème de Cayley-Hamilton.

- Polynôme minimal d'un endomorphisme (ou d'une matrice) :

-- définition, existence et unicité (il est unitaire par définition) ; notation Pmin_f

-- exemples ;

-- ses racines sont les valeurs propres ;

-- invariance par extension de corps ;

-- conséquence : le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont les mêmes racines dans toute extension du corps de base.

Cours n° 11 du 24 novembre :

- Lemme de décomposition des noyaux et applications :

-- « rappels » sur les polynômes premiers entre eux ;

-- si u et v commutent alors Ker(u) et Im(u) sont stables par v, et v commute avec P(u) pour tout P dans K[X] ;

-- lemme de décomposition (« lemme fondamental » dans Grifone) : si f est dans End(E), et si P=Q_1...Q_r où les Q_i sont premiers entre eux deux à deux, alors Ker P(f) est somme directe des Ker Q_i(f) ;

-- réduction à la forme diagonale par blocs (associée à une décomposition d'un polynôme annulateur en facteurs premiers entre eux) ;

-- théorème : f est diagonalisable si et seulement si il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples ;

-- corollaire : si f est diagonalisable, sa restriction à un sous-espace stable l'est aussi ;

-- diagonalisation simultanée d'endomorphisme diagonalisables commutant deux à deux.

Cours n° 12 du 1er décembre :

- Sous-espaces caractéristiques :

-- définition ;

-- pour une valeur propre lambda donnée : existence d'une forme à 2 blocs diagonaux B, B' où B est triangulaire avec seule valeur propre lambda, et où lambda n'est pas valeur propre de B' ;

-- la dimension du sous-espace caractéristique est la multiplicité de la valeur propre ;

-- cas où le polynôme caractéristique est scindé : décomposition en sous-espaces caractéristiques, réduction avec blocs triangulaires ayant une seule valeur propre.

-- Endomorphismes (et matrices) nilpotents :

--- définition, caractérisations diverses (valeurs propres, polynôme caractéristique, polynôme minimal, forme triangulaire supérieure stricte) ;

--- u et v nilpotents, uv=vu : alors u+v est nilpotent.

-- Décomposition de Dunford : existence et unicité.

- Réduction de Jordan : définition d'un bloc de Jordan, énoncé du théorème (sans démonstration).