Considérons un profil d'aile subissant un vent $V_\infty \vec x$ (suivant $\vec x$). L'action de l'air (de masse volumique $\rho$) sur ce profil se résume, au point $Q$, à :

• une trainée (suivant $\vec x$) notée $T=\frac 1 2 \rho S C_x V_\infty^2$,
• une portance (suivant $\vec z$) notée $P=\frac 1 2 \rho S C_z V_\infty^2$
• et un moment (suivant $\vec y$) définit au point $Q$ noté $M_Q=M=\frac1 2 \rho S C_m c V_\infty^2$.

où $c$ est la corde du profil et $S=bc$ est une surface caractéristique de l'aile ($b$ est sa largeur suivant $\vec y$). Le point $Q$ est définit arbitrairement (ou plutôt historiquement) : il est au 1/4 du bord d'attaque sur la corde (droite passant par les bords d'attaque et de fuite). Il est nommé le foyer du profil.
Il existe un point $I$ (à vrai dire le point $I$ n'est pas unique car il se situe sur une droite $D$) où le moment est nul $M_I=0$ : le point $I$ est nommé centre de poussée du profil. Notons $d=QI$ la valeur algébrique permettant de positionner $I$ relativement à $Q$. Nous avons la relation de transport des moments de torseur qui permet de déterminer la position d'un point $I$ :

$$\begin{eqnarray*} M_Q \vec y &=& M_I \vec y + ( P \vec z + T \vec x ) \wedge \v... ...) \\ \frac d c &=& - \frac{C_m}{( C_z \cos i + C_x \sin i )} \end{eqnarray*}$$

On a donc la position du centre de poussée $I$ par rapport au foyer $Q$ :

$$\frac d c = - \frac{C_m(i)}{( C_z(i) \cos i + C_x(i) \sin i )}$$

ou par rapport au bord d'attaque :

$$0.25 + \frac d c = 0.25 - \frac{C_m(i)}{( C_z(i) \cos i + C_x(i) \sin i )}$$

Il existe "mathématiquement" un angle $i$ qui sera tel que $( C_z(i) \cos i + C_x(i) \sin i )=0$.
La fraction précédente ne sera pas définit où plutôt $d$ deviendra infini !
Ceci est illustré par le cas de figure suivant :

$$C_z=-0.0299 \qquad C_x=0.04463 \qquad C_m=-0.0234 \qquad ... ... \qquad \quad\Longrightarrow\quad 0.25 + \frac d c = -0.49$$

La répartition de force équivaut ici à une force appliquée en un point extérieur au profil.
Il y a en effet aucune raison pour que le point $I$ soit situé entre les bords d'attaque et de fuite du profil !
Si $(0.25 + \frac d c) \in [0;1]$, ce centre de poussée $I$ est situé entre les bords d'attaque et de fuite du profil sinon il est en dehors !

Hypothèses et Simplification
En se référençant à des ouvrages aérodynamiques dont "Comment le planeur vole" de R.Gougnot (2002) ...
La force de trainée $T$ étant plus faible que celle de portante $P$ et l'angle d'incidence $i$ étant petit on a :

$$C_z > C_x \mbox{ et } \cos i > \sin i \quad\Longrightarrow\quad C_z \cos i > C_x \sin i$$

La formule précédente devient :

$$0.25 + \frac d c \approx 0.25 - \frac{C_m}{C_z \cos i}$$

L'angle $i$ étant faible $\cos i \approx 1$ donc :

$$0.25 + \frac d c \approx 0.25 - \frac{C_m}{C_z}$$

En considérant que le coefficient de moment évolue que très faiblement et en prenant la valeur de ce coefficient lorsque $C_z=0$ :

$$C_m(C_z=0) = C_{m0} \qquad\mbox{et}\qquad C_m(C_z) \approx C_{m0}$$

On a la position du centre de poussée pris à partir du bord d'attaque qui sera approximativement donnée par :

$$0.25 + \frac d c \approx 0.25 - \frac{C_{m0}}{C_z}$$

Application sur quelques profils
Les équations précédentes sont programmées dans ces fichiers Fortran poscp.f et bdforce4.f

Travail étudiant sur quelques profils

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