OM4: Outils Mathématiques 4

L'année précédente, vous avez étudié des fonctions d'une variable réelle, des limites, et la continuité. Vous avez aussi étudié les dérivées, qui décrivent comment les fonctions changent, et peuvent être utilisés pour trouver le maximum et le minimum des fonctions. Vous avez aussi étudier les intégrales qui décrivent le comportement global d'une fonction dans un intervalle. Le lien entre dérivée et intégrale est donné par le théorème fondamental du calcul intégral, dont une version relie l'intégrale de la dérivée d'une fonction dans un segment aux valeurs de la fonction aux extrêmités de cet intervalle.

Bien que l'étude d'une variable variable est extrêmement utile, dans beaucoup d'applications on doit considérer des fonctions de plusieurs variables. Par exemple, la température est une fonction de trois variables: latitude, longitude, et altitude (et même quatre si on tient compte du temps). Dans ce cours nous généraliserons les idées du calcul d'une variable mentionnés ci-dessus aux fonctions de deux ou trois variables. (la plupart de ce que nous ferons pourra également être étendu aux fonctions de n'importe quel nombre de variables, bien que ceci exige un peu plus d'abstraction, et la compréhension complète de deux et trois variables que nous développerons dans ce cours fournira l'intuition et la compréhension pour des fonctions de plus de trois variables, si vous les rencontrez plus tard.)

• Nous commencerons par quelques préliminaires sur l'integration des fonctions d'une variable (intégrale de Riemann).
• Nous considérerons l'intégration des fonctions de deux ou trois variables. La manipulation des symboles impliqués n'est pas très différente de l'intégration des fonctions d'une variable, mais un raisonnement plus géométrique est exigé pour considérer les limites de l'intégration, parce qu'on intègre sur des domaines de deux ou trois dimension qui sont plus compliquées que des intervalles.
• En conclusion, l'apogée du cours est le calcul vectoriel. Ici nous relierons la différentiation partielle et l'intégration multiple dans quatre grands théorèmes: le théorème fondamental pour des intégrales curvilignes, théorème de Green, le théorème de Stokes, et le théorème d'Ostrogradsky. Ceux-ci peuvent être considérés comme des généralisations du théorème fondamental du calcul, et sont très importants par exemple en physique. (ces quatre théorèmes sont réellement tous des cas spéciaux d'un théorème plus général, appelés " le théorème de Stokes pour les formes différentielles ", qui est valable en toutes dimensions et que vous pourrez apprendre dans un cours plus avancé.)