************************************** 
Listes des modules au format pdf
G01. Algèbre commutative
G02. Géométrie différentielle
G03. Groupes classiques
G04. Théorie de Galois et représentations des groupes finis
G05. Analyse fonctionnelle
G06. Fonctions holomorphes d'une variable
G07. Théorie du signal
G08. Analyse numérique des équations aux dérivées partielles
G09. Modélisation de problèmes issus de l'industrie
G10. Outils informatiques pour le calcul scientifique
G11. Calcul scientifique pour l'analyse des données et recherche opérationelle
G12. Probabilités de base
H01. Algèbre algorithmique
H02. Analyse sur les variétés
H03. Courbes Algébriques
H04. Théorie algébrique des nombres
H05. Topologie algébrique
H06. Distributions
H07. Fonctions spéciales.
H08. Calcul scientifique en analyse numérique
H09. Méthodes numériques pour les équations différentielles
H10. Martingales à temps discret et chaînes de Markov
H11. Modèles probabilistes et leur statistique
H12. Statistique paramétrique
H13. Méthodes numériques en optimisation
G01. Algèbre commutative
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Donner les bases d'algèbre commutative nécessaires pour l'agrégation ou un doctorat
Description: \begin{itemize} \item Rappels sur les anneaux, les idéaux et les quotients. Idéaux premiers et maximaux, exemples géométriques (fonctions continues d'un compact vers $\mathbb{R}$. Intersection des idéaux premiers d'un anneau. \item Module sur un anneau, notions de base : sous-modules, module quotient, somme directe, produit, familles libres, génératrices, base, modules libres, rang. \item Suites exactes ; cohomologie de de Rham algébrique et holomorphe de la droite complexe privée de n points. \item Modules de type fini sur un anneau principal : le théorème de structure et des applications aux groupes abéliens de type fini et à l'algèbre linéaire (invariants de similitude, réduction de Jordan...). Point de vue matriciel : classes d'équivalence des matrices à coefficients dans un anneau principal, aspects théorique et algorithmique (si l'anneau est euclidien). \item Localisation : existence, propriété universelle, cas du localisé en un idéal premier. Notion d'anneau local, exemples géométriques (anneau des germes de fonctions holomorphes ou indéfiniment différentiables à l'origine). Etude (en cours ou en TD) des anneaux de valuation discrète. \item Anneaux noethériens : définition, théorème de Hilbert. \item Notion d'élément d'un anneau intègre entier sur un sous-anneau. Caractérisations équivalentes, fermeture intégrale, anneau intégralement clos. Cas particulier des éléments algébriques sur un corps et rappels sur les extensions de corps. \end{itemize}
Bibliographie de base:
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
G02. Géométrie différentielle
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Intoduction aux outils de la géométrie différentielle par l'intermédiaire de l'étude des courbes et des surfaces.
Description: \begin{itemize} \item Sous-variétés de $\mathbb{R}^{n}$, définition des variétés abstraites, variétés quotients (de nombreux exemples seront présentés). \item Applications différentiables entre variétés ; immersion, submersion, plongement. \item Etude affine et métrique des courbes et surfaces de $\mathbb{R}^{3}$. \item Propriétés métriques des surfaces : première et seconde formes fondamentales, théorème de Gau\ss, formule de Gau\ss -Bonnet. \item Etude des variétés réelles de dimension 2. \end{itemize}
Bibliographie de base: M. Berger, B. Gostiaux. Variétés, courbes et surfaces. PUF, 1987.\\ M.P. do Carmo. Différential géométry of curves and surfaces. Prentice-Hall Inc., 1976.
Dernière mise à jour 13/11//03FG
Retour à la liste des modules
G03. Groupes classiques
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif:
Description: \begin{itemize} \item Définition des Grassmaniennes, étude des espaces projectifs (sur $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, un peu de corps finis). Géométrie projective : birapport, coniques. \item Les groupes $GL_n(K)$ et $ PGL_n(K)$, leur action sur les espaces projectifs. \item Sous-groupes classiques de $GL_n(\mathbb{R})$ : ce sont des sous-variétés, calcul de l'espace tangent à l'identité. \item Sous-groupes compacts de $GL_n(\mathbb{R})$, étude du groupe orthogonal : aspects géométriques et algébriques. \item Groupes $O(p,q)$ et/ou le groupe symplectique. \end{itemize}
Bibliographie de base:
Dernière mise à jour 13/11/03
Retour à la liste des modules
G04. Théorie de Galois et représentations des groupes finis
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Utiliser la théorie des groupes pour mieux comprendre la résolution des équations polynomiales.
Description: \begin{itemize} \item Introduction : rappels sur la résolution des équations de degré 2, 3, et 4 et mention de ce qui se passe en degré 5. Corps de rupture, corps de décomposition, automorphismes d'extensions de corps. Extension normale, extension séparable. Caractérisations équivalentes des extensions finies galoisiennes et correspondance de Galois. \item Théorème de l'élément primitif. Exemple des extensions cyclotomiques et des extensions de Kummer. Théorie de Galois des corps finis. Un polynôme de groupe de Galois $S_n$ pour $n \geq 5$ n'est pas résoluble par radicaux. Exemples en TD de tels polynômes. Etude du discriminant, en TD ou en devoir à la maison. \item Introduction aux représentations linéaires des groupes finis. \end{itemize}
Bibliographie de base: Escofier, Jean-Pierre. Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés. Enseignement des Mathématiques. Masson, Paris, 1997 \\ Serre, Jean-Pierre. Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, Paris.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
G05. Analyse fonctionnelle
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Etudier les opérateurs bornés dans les espaces de Banach.
Description: \begin{itemize} \item Le théorème d'Hahn-Banach sous ses trois formes (géométrique, algébrique et topologique). Le théorème de Baire et ses corollaires dans les espaces de Banach : borne uniforme, application ouverte, graphe fermé, théorème de Banach-Steinhaus, supplémentaires topologiques. Topologie faible sur les espaces de Banach, théorème de Banach-Alaoglu, cas des espaces réflexifs.\\ Rappels sur les espaces $l^p, c_0, C^0_0, L^p$, réflexivité.\\ \item Spectre des opérateurs bornés. Cas des opérateurs de shift. Compacité : théorème d'Ascoli, propriétés des opérateurs compacts, opérateurs de Fredholm. Application à des intégrales de Volterra. \end{itemize}
Bibliographie de base: H. Brézis, Analyse fonctionnelle. Paris, Masson, 1997. \\ F. Hirsh, G. Lacombe. Elements d'analyse fonctionnelle, Cours et Exercices. Masson, 1997.
Dernière mise à jour 13/11//03fg
Retour à la liste des modules
G06. Fonctions holomorphes d'une variable
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Familiariser aux techniques modernes de l'analyse et de la géométrie complexe
Description: \begin{itemize}\item Sphère de Riemann, théorie de Cauchy, produit infini. \item Fonctions méromorphes, théorème de Mittag-Leffler. \item Théorème de Runge d'approximation par des fractions rationnelles. \item Famille normale, représentation conforme, Théorème de Koebe. \item Introduction à la géométrie hyperbolique complexe. \item Fonction $P$ de Weierstra\ss, fonctions périodiques. \item Module d'un anneau. \end{itemize}
Bibliographie de base: W. Rudin. Analyse réelle et complexe. Masson, 1975.\\ G. A. Jones, D. Singerman. Complex functions : analgebraic and geometric viewpoint. Cambridge University Press, 1987.
Dernière mise à jour 13/11/fg
Retour à la liste des modules
G07. Théorie du signal
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Analyse appliquée pour le traitement de signal et d'image.
Description: \begin{itemize} \item Convolution. \item Séries et transformée de Fourier. \item Transformée de Fourier discrète et algorithme FFT. \item Propriétés spectrales des signaux. \item Filtrage des signaux : utilisation de la transformée de Laplace pour les signaux à temps continu et de la transformée en z. \end{itemize}
Bibliographie de base: C. Gasquet, P. Witomski. Analyse de Fourier et applications : filtrage, calcul numérique, ondelettes. Masson 1990.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
G08. Analyse numérique des équations aux dérivées partielles
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: L'objectif du cours est de donner les outils d'analyse nécessaires à l'introduction des méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles.
Description: \begin{itemize}\item Rappels et compléments sur les espaces de Hilbert. \\- Problèmes variationnels quadratiques (minimisation d'une fonctionnelle quadratique). \\- Théorème de Lax-Milgram. \\- Discrétisation par la méthode de Galerkin. Lemme de Céa. \item Langage des distributions. \\- Espaces de Sobolev. \\- Théorèmes de trace. \\- Formulation variationnelle de problèmes elliptiques d'ordre 2. \item Exemples :\\ - Méthodes des différences finies et des éléments finis en dimension 1 \\- Problème de Dirichlet et de Neuman, en dimension 2 \\- Initiation à la méthode des éléments finis P1 \\- Applications à l'élasticité et à la dynamique des fluides. \end{itemize}
Bibliographie de base: - Analyse Fonctionnelle, Brézis, Paris, Masson, 1992. \\- Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, P.A. Raviart, J.M. Thomas, Paris, Masson, 1988.
Dernière mise à jour 13/11//03fg
Retour à la liste des modules
G09. Modélisation de problèmes issus de l'industrie
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Ce cours a pour objet l'introduction à la modélisation analytique et numérique des phénomènes fondamentaux de la physique classique.
Description: Plusieurs thèmes seront traités. Par exemple: - Systèmes chimiques de réaction. - Modélisation de la qualité de l'air. - Analyse des signaux en imagerie. - Optimisation de formes. -
Bibliographie de base: A. Friedman, W. Littman, Industrial Mathematics, SIAM 1994.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
G10. Outils informatiques pour le calcul scientifique
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 4
Accessible aux parcours:
Objectif: Acquérir les compétences nécessaires pour le développement d'applications numériques sur ordinateur.
Description: \begin{itemize} \item Généralités sur les ordinateurs \item Codage de l'information \item Arithmétique des ordinateurs \item Langages de programmation \item Algorithmique. Structuration des données \item Développement des logiciels \end{itemize} Cet enseignement donnera lieu à la mise en \oe uvre d'un ou plusieurs algorithmes dans le cadre d'un projet réalisé à l'aide d'un ordinateur.
Bibliographie de base:
Dernière mise à jour
Retour à la liste des modules
G11. Calcul scientifique pour l'analyse des données et recherche opérationelle
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Analyses statistiques de base pour les ingénieurs. Recherche opérationnelle
Description: Analyses factorielles de données. T. P. en Sas. Recherche opérationnelle
Bibliographie de base:
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
G12. Probabilités de base
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Le but de ce cours est l'étude des suites de variables aléatoires indépendantes. Il sera illustré par l'étude élémentaire de quelques modèles : marche aléatoire, renouvellement (processus de Poisson), exemples de files d'attente, \ldots \
Description: \begin{itemize} \item Rappels sur les variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}$ :\\ - Tribu engendrée, exemples de lois, fonction de répartition. \\- Intégration, espérance, théorème de transfert, moments, inégalités classiques, théorèmes de convergence. \item Identification de deux probabilités : point de vue ensembliste : $\pi$-systèmes, théorème de Dynkin (admis) ; point de vue fonctionnel. \item Fonction caractéristique : lien avec les moments ; caractérisation d'une loi par sa fonction caractéristique ; cas d'une loi à densité. \item Indépendance : \\ - Rappels: évènements indépendants, variables indépendantes ; tribu produit, loi produit, théorème de Fubini, caractérisation de l'indépendance par la loi produit ; indépendance et espérance, sommes de variables indépendantes. \\ - Caractérisation de l'indépendance par les fonctions caractéristiques. \\ - Vecteurs gaussiens. \\ $n$-échantillon, loi multinomiale, statistique d'ordre.\\- Suites de tribus ou de variables indépendantes : tribu asymptotique, loi 0-1 (on admettra l'existence d'une suite de variables aléatoires indépendantes). \item Convergence : \\ - Différentes notions de convergence : Convergence presque sûre, dans $L^p$, en probabilité, en loi. \\- Critères de convergence en loi, énoncé du théorème de Paul Lévy. \item Sommes de variables aléatoires indépendantes. : \\ - Rappel : loi faible des grands nombres; - Loi forte des grands nombres. Inégalités maximales, convergence des séries aléatoires. \\- Fréquence et probabilité, convergence de la probabilité empirique. \\- Théorème central limite dans $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^d$. Théorème du $\chi^2$. \\- Applications : méthodes de Monte-Carlo, intervalle de confiance. \end{itemize}
Bibliographie de base: D. Revuz : Probabilités. Collection Méthodes, Hermann, 1997. \\ R. Durrett : Probability : Theory and examples. Duxbury Press, 2ème éd. 1991.
Dernière mise à jour 13/11/03 FG/
Retour à la liste des modules
H01. Algèbre algorithmique
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Donner aux étudiants une culture en calcul formel et algèbre effective, avec une évaluation des algorithmes utilisés. Conseillé pour parcours : Masters à mention mathématique, agrégation (option calcul symbolique)
Description: \begin{itemize}\item Mesures de complexité : Récurrences, séries génératrices. Évaluations asymptotiques. \item Arithmétique et algèbre linéaire :\\ Les entiers : systèmes de numération, addition et multiplication naïves, multiplications plus efficaces.\\ Les matrices : addition et multiplication naïves, multiplications plus efficaces. Calcul de déterminants. Algorithmes de réduction d'une matrice. Réduction d'une forme quadratique. \item Polynômes : \\Addition et multiplication, naïves et efficaces.\\ Division, PGCD. Résultants, sous-résultants. Suites de Sturm. Transformée de Fourier rapide (FFT) ; produit d'entiers et de polynômes. Factorisation de polynômes dans $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})[X]$ et dans $\mathbb{Z}[X]$, algorithme de Berlekamp. Bases de Gröbner ; résolution de systèmes d'équations algébriques. \end{itemize}
Bibliographie de base: D. Cox, J. Little, D. O'shea : Ideals, varieties, and algorithms, an introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Springer, 1997.\\ M. Mignotte : Mathématiques pour le calcul formel. PUF, 1989.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
H02. Analyse sur les variétés
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Aprofondissement de l'étude des variétés, abordée en G06.
Description: \begin{itemize} \item Variétés, applications entre variétés. \item Espace tangent, champ de vecteurs, métrique riemannienne. Distance associée à une métrique riemannienne. \item Formes différentielles, dérivations, formules de Stokes. \item Flot associé à un champ de vecteurs, flot complet. \item Flot géodésique et théorème de Hopf-Rinow. \end{itemize}
Bibliographie de base: M. Berger, B. Gostiaux. Variétés, courbes et surfaces. PUF., 1987. \\ B. Doubrovine, A. Formenko, S. Novikov. Géométrie contemporaine. MIR, 1982.
Dernière mise à jour 13/11/03fg
Retour à la liste des modules
H03. Courbes Algébriques
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Il s'agit d'une première introduction à la géométrie algébrique (étude des solutions des systèmes d'équations algébriques). On y suivra la démarche qui mène à la démonstration du théorème de Bézout : deux courbes algébriques planes projectives de degrés m et n possèdent mn points d'intersections à coordonnées dans un corps algébriquement clos, en comptant ceux-ci avec une multiplicité convenable.
Description: \begin{itemize}\item Ensembles algébriques affines, idéal d'un ensemble algébrique affine. \item Topologie de Zariski. Composantes irréductibles d'un ensemble algébrique. \item Fonctions régulières et applications régulières entre ensembles algébriques affines. \item Corps des fonctions rationnelles sur un ensemble algébrique irréductible, pôles et domaine de définition. Anneau local en un point. \item Propriétés locales des courbes planes : points singuliers et réguliers, multiplicité d'un point singulier, tangentes en un point. \item Multiplicité d'intersection de deux courbes planes en un point. \item Ensembles algébriques projectifs. Homogénéisation d'un idéal. Fermeture projective d'un ensemble algébrique affine. Cas des courbes planes. \item Théorème de Bézout. Théorème de Noether. Applications aux cubiques planes. \end{itemize}
Bibliographie de base: W. Fulton, Algebraic Curves, Addison-Wesley (1989)
Dernière mise à jour 13/11/03fg pb
Retour à la liste des modules
H04. Théorie algébrique des nombres
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Présentation de quelques méthodes et résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques et leurs anneaux d'entiers.
Description: \begin{itemize} \item Problème de Fermat en degrés 2, 3 et 4. \item Théorème des deux carrés. \item Compléments sur les extensions algébriques : norme, trace, discriminant. \item Anneaux d'entiers des corps de nombres, anneaux de Dedekind. \item Groupe des unités, groupe des classes d'idéaux. \item Équation de Pell. \item Loi de réciprocité quadratique. \end{itemize}
Bibliographie de base: P. Samuel. Théorie algébrique des nombres. Hermann, 1967.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
H05. Topologie algébrique
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Groupe fondamental, théorie des revêtements et application à la théorie des groupes.
Description: \begin{itemize}\item Topologie générale : connexité, connexité locale par arcs, topologie quotient. \item Groupe fondamental d'un espace topologique ; le cercle et les sphères. Applications aux fonctions holomorphes et théorème des résidus sur la sphère. \item Produit libre et produit amalgamé ; le théorème de Van Kampen ; groupe fondamental des surfaces. \item Revêtement topologique et théorie de Galois des revêtements. \item Compléments de topologie différentielle et/ou combinatoire. \end{itemize}
Bibliographie de base: A. Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press.\\ C. Godbillon. Topologie algébrique. Hermann, 1971.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
H06. Distributions
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Définition et manipulation des distributions. Introduction de la transformée de Fourier en toute généralité.
Description: \begin{itemize}\item Rappels : la convolution dans $L^1$, les formules de Leibnitz, de Taylor avec reste intégral et de Stokes. \item Fonctions test et partition de l'unité. Définition des distributions. Opérations sur les distributions. Convergence des distributions. Plongement de $L^1_\textrm{loc}$ dans les distributions. \item Exemples de distributions : dérivées de Delta, distributions homogènes, valeurs au bord de fonctions holomorphes. \item Distributions à support compact, produit tensoriel et convolution. Notion de solution élémentaire d'une EDP à coefficients constants. \item Distributions tempérées et transformée de Fourier. \item Calcul de solution élémentaire : $\mathcal{D}'$ \item Laplacien, équation de la chaleur, équation des ondes en dimension 1 et 3. \end{itemize}
Bibliographie de base: J. M. Bony. Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier. Librairie Evrolles, 2001.\\ L. Scharwtz. Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. Hermann, 1965.
Dernière mise à jour 13/11/03 FG
Retour à la liste des modules
H07. Fonctions spéciales.
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Fonctions holomorphes (E02)
Description: \begin{itemize}\item Rappels sur les fonctions méromorphes et les produits infinis. \item Méthodes asymptotiques en dimension 1 : méthodes de Laplace, de la phase stationnaire, du col. \item Fonctions Gamma, Beta et factorielle. \item Quelques propriétés de la fonction Zeta de Riemann. \item Fonction hypergéométrique. \item Fonctions de Bessel, d'Airy. \item Polynômes classiques. \end{itemize}
Bibliographie de base: W. Rudin. Analyse réelle et complexe. Masson, 1996.\\ J. Dieudonné. Calcul infinitésimal. Hermann, 1980.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
H08. Calcul scientifique en analyse numérique
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Mise en oeuvre d'une méthode des éléments finis pour résoudre numériquement un problème d'équations aux dérivées partielles en dimension 2.
Description: \begin{itemize} \item Analyse et construction complètes d'un programme d'éléments finis pour la discrétisation d'un problème aux limites bidimensionnel. \item Choix de la formulation variationnelle et de l'élément fini. Eléments P1, P2, Q1, Q2. \item Utilisation du code de recherche Mélina : \\ - Maillage et numérotation. \\ - Calculs élémentaires : matrices de masse et de rigidité. \\ - Assemblage des matrices creuses. \\ - Conditions aux limites essentielles. \\ - Résolution de systèmes linéaires à matrice creuse. \\ - Construction d'un programme principal en Fortran et d'un fichier de directives pour piloter Mélina. \\ - Affichage graphique des résultats. \\ \end{itemize}
Bibliographie de base: - Documentation HTML du code Mélina : http://perso.univ-rennes1.fr/ daniel.martin/melina/www/homepage.html
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
H09. Méthodes numériques pour les équations différentielles
Durée hebdomadaire: 2-2-0
Travail personnel recommandé: 2-2-0
Accessible aux parcours:
Objectif: Analyse de la discrétisation de problèmes elliptiques et paraboliques par la méthode des éléments finis
Description: -\begin{itemize}\item Analyse des méthodes de discrétisation des problèmes variationnels elliptiques. Erreur de discrétisation, d'interpolation, de consistance. \item Espaces d'éléments finis. Interpolation, intégration numérique. Lemmes de Bramble-Hilbert et de Strang. Eléments finis isoparamétriques. \item Formulation variationnelle des problèmes paraboliques. Discrétisation en temps et en espace. \end{itemize}
Bibliographie de base: P. A. Raviart, J. M. Thomas. Introduction à l'analyse numérique des EDP. Masson, 1988.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg fm
Retour à la liste des modules
H10. Martingales à temps discret et chaînes de Markov
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Le cours de G01 ``Probabilités de base'' portait en partie sur l'étude du comportement asymptotique des suites de variables aléatoires indépendantes. Le cours de H01 porte sur l'étude de deux types de variables aléatoires en dépendance particulière : les surmartingales et les chaînes de Markov.
Description: Éspérance conditionnelle : cas d'une variable aléatoire réelle de carré intégrable; extension à une variable aléatoire réelle quasi-intégrable. \begin{itemize} \item Généralités sur les processus à temps discret : filtrations ; temps d'arrêt ; tribu antérieure à un temps d'arrêt. \item Martingales et surmartingales.\\ - Généralités et exemples. \\ - Théorème d'arrêt de Doob ; inégalités maximales. \\ - Théorème de convergence presque-sûre ; théorème de Doob. \\ - Applications : loi 0-1 de Kolmogorov ; lois des grands nombres pour les accroissements de martingale. \item Chaînes de Markov à espace d'états dénombrable :\\ - Généralités et exemples. \\- Classification des états. \\- Récurrence, transience. \\- Théorème ergodique pour les chaînes récurrentes irréductibles ; récurrence nulle et récurrence positive. \end{itemize}
Bibliographie de base: D Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press, Cambridge, 1991. (chapitres 9--14). \\ J. R. Norris, Markov chains. Cambridge University Press, 1998..\\ D. Foata, A. Fuchs. Processus stochastiques, processus de Poisson, chaînes de Markov et martingales. Cours et exercices. Dunod, 2002.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
H11. Modèles probabilistes et leur statistique
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Ce cours présente quelques modèles probabilistes et les outils destatistique asymptotique permettant de les étudier.Chaque chapitre sera motivé et illustré par des exemples de modèles issus de domaines d'application inter-disciplinaires : sondages, fiabilité, économétrie, biologie, télécommunications, etc;
Description: \begin{itemize} \item Convergence des paramètres empiriques : \\ Transformations du TLC, statistiques additives. Convergence des moments empiriques (LGN, TLC, centrage). Application : méthode des moments. Exemples d'intervalles de confiance (IC). Statistiques d'ordre, espacements, rangs. Convergence des quantiles empiriques (LGN, TLC, IC). Cas de la médiane. Convergence des extrêmes (types, exemples, IC). \item Convergence de la mesure empirique : \\ Fonction de répartition et fonction quantile, transformations. Théorème de Glivenko-Cantelli. Théorème de Kolmogorov-Smirnov. Premières notions sur les tests : hypothèse, niveau, puissance. Test d'adéquation de Kolmogorov-Smirnov. Application : tests d'exponentialité. \item Tests du chi-deux : \\ Loi multinomiale et loi du chi-deux. TLC multivarié. Test d'adéquation à une loi discrète. Test d'adéquation à une famille de lois. Test d'indépendance de deux variables discrètes. \item Corrélation entre deux variables $ L^2$ :\\ Covariance empirique et interprétation (géométrie de $ L^2$). Convergence du coefficient de corrélation (LGN, TLC, IC). Cas gaussien. Application : test de corrélation. Régression simple. \item Chaînes de Markov à espace d'états fini :\\ Transitions, classification des états, transience, récurrence. Théorèmes de convergence (LGN, TLC). Applications : estimation, IC et test d'une probabilité de transition ; test du chi-deux pour une matrice de transition. \item Processus de Poisson et applications : \\ Processus de Poisson à sauts constants : propriétés, représentations. Théorèmes de convergence (LGN, TLC). Applications : estimation, IC et test du paramètre d'intensité ; lien avec les chapitres 1 et 3 (espacements) ; file d'attente M/M/1, convergence à l'équilibre, étude statistique. \item Travaux pratiques sous Scilab :\\ Génération d'échantillons, simulations de théorèmes limites, mise en oeuvre de modèles (Markov, Poisson, files). \end{itemize}
Bibliographie de base: G. Sapporta. Probabilités, analyse de données, statistique. Editions Technip, 1990\\ D. Fourdrinier, Statistique inférentielle. Dunod, 2002
Dernière mise à jour 13/11/03fg
Retour à la liste des modules
H12. Statistique paramétrique
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Ce cours présente la théorie de base en statistique mathématique, celle de l'estimation et des tests paramétriques, avec de nombreuses illustrations.
Description: Dans un modèle probabiliste incomplètement spécifié on observe une suite de variables aléatoires. Il s'agit de localiser un paramètre inconnu de la loi de ces variables en se basant uniquement sur leur observation. Une approche générale est développée, donnant lieu à des méthodes systématiques parfois optimales et permettant de comparer les décisions à distance finie ou asymptotiquement. Chaque notion, chaque théorème sera illustré par un exemple simple. \begin{itemize} \item Modèle paramétrique. (4h) Motivation : détection d'un signal bruité.\\ - Domination d'une classe de mesures, mélanges. \\ - Vraisemblance des paramètres. \\- Décision, risque, biais, comparaisons. \item Information sur le paramètre. (8h) Motivation : contrôle de qualité (paramètres d'une gaussienne).\\ - Information qualitative : exhaustivité, minimalité. \\- Information quantitative de Fisher, contrastes. \\- Borne inférieure d'efficacité. \\ - Modèle exponentiel, théorème de Koopman. \item Estimation du paramètre. (6h) Motivation : approfondir les techniques abordées au chapitre 1.\\ - Régions de confiance, construction. \\ - Convergence du maximum de vraisemblance. \\ - Réduction de la variance et du biais. \item Tests d'hypothèses.(6h) Motivation : reconnaissance d'un signal, dépistage.\\ - Risques, puissance, comparaison, cas gaussien. \\- Tests d'hypothèses simples, théorème de Neyman-Pearson. \\ - Rapport de vraisemblance monotone, tests UPP. \\ - Tests bilatères, généralisations. \item Travaux pratiques sous Scilab : \\- génération d'échantillons, simulations d'estimateurs et de tests, illustration des convergences, estimation des erreurs et des risques. \end{itemize}
Bibliographie de base: D. Foudrinier. Statistique inférentielle. Dunod, 2002.\\ A. Monfort. Cours de statistique Mathématique. Economica, 1997.\\ P. Tassi. Méthodes statistiques. Economica, 1989.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg pb
Retour à la liste des modules
H13. Méthodes numériques en optimisation
Durée hebdomadaire: 2-2-1
Travail personnel recommandé: 2-2-1
Accessible aux parcours:
Objectif: Présenter les bases de l'optimisation et étudier les principales méthodes numériques ainsi que leurs applications.
Description: \begin{itemize}\item Outils utiles à la mise en place des méthodes d'optimisation : calcul différentiel dans les espaces de Hilbert (gradient - Hessien) ; introduction à la topologie faible (convergence faible) ; convexité d'une fonctionnelle définie sur un espace de Hilbert. \item Définition d'un problème d'optimisation. Conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité. \item Algorithmes de calcul : \\ - Méthode du simplexe. \\ - Méthodes du gradient optimal, du gradient à pas constant, du gradient conjugué (cas sans contrainte). \\ - Méthode de la plus grande pente, multiplicateurs de Lagrange (cas avec contraintes ). \\ - Relations de Kuhn-Tucker, dualité, algorithme d'Uzawa (programmation non linéaire). \item Applications : contrôle optimal d'équations aux dérivées partielles, problème inverse, optimisation de forme, commande optimale. \end{itemize}
Bibliographie de base: P.G. Ciarlet. Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation. Masson, 1998.\\ J. Céa. Optimisation, théorie et algorithmes. Dunod, 1971. \\ J. B. Hiriart-Urruty. L'optimisation. Que sais-je ? P.U.F. 1996.
Dernière mise à jour 13/11/03 fg
Retour à la liste des modules
email: Karim Bekka