Nombres de Betti virtuels des ensembles symétriques par arcs
et équivalence de Nash après éclatements
Thèse de doctorat de l'université d'Angers, effectuée sous la direction de Adam
PARUSINSKI et soutenue le 28 novembre 2003
devant le jury:
Président: F. Loeser (ENS Paris)
Rapporteurs: M. Merle (Université de Nice), W. Veys (University of
Leuven)
Examinateurs: M. Granger (Université d'Angers), K. Kurdyka (Université
de Chambery)
Résumé:
L'objet de la thèse est d'utiliser en géométrie réelle l'intégration motivique pour construire des invariants des singularités analytiques. Cela nécessite la connaissance de caractéristiques d'Euler généralisées pour les variétés algébriques réelles qui permettent de construire des mesures sur les espaces d'arcs. Or, en géométrie algébrique réelle, on en connaît peu.
Nous construisons ici un tel invariant pour une catégorie d'ensembles plus large, les ensembles symétriques par arcs. Cet invariant, appelé polynôme de Poincaré virtuel, est de plus invariant par isomorphismes de Nash. On applique alors l'intégration motivique pour étudier les germes de fonctions analytiques réelles. On construit des fonctions zeta, suivant J. Denef et F. Loeser, qui sont des invariants pour un cas particulier de la relation d'équivalence analytique après éclatements (l'équivalence de Nash après éclatements). On énonce, pour cette nouvelle relation, un résultat de trivialisation pour une famille ayant de bonnes propriétés algébriques.
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