- Lundi 4 juin 2018 à Rennes -
En salle 004
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9h30 Accueil (thé-café)
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10h15-11h15 Stéphanie Cupit-Foutou (Bochum) À propos du lieu réel des variétés sphériques complexes.
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Résumé : Les variétés de drapeaux, les variétés toriques ainsi que les espaces symétriques sont des exemples de variétés sphériques -- une classe de variétés algébriques complexes munies d'une action de groupe. Après une brève introduction concernant ces variétés, j'expliquerai comment définir une structure réelle équivariante sur ces objets. Une fois la structure réelle donnée, nous nous intéresserons au lieu réel sous-jacent, naturellement muni d'une action d'un groupe algébrique réel provenant du cas complexe. Les orbites de cette action ont été décrites par Borel & Ji ainsi que par Timashev & moi-même dans le cas des espaces symétriques, par le biais de la cohomologie galoisienne. Dans mon exposé, je présenterai une nouvelle méthode, une méthode géométrique, pour paramétrer ces mêmes orbites et ce, dans le cas des variétés sphériques en général -- un travail en commun avec Timashev et disponible sous peu.
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14h-15h Arthur Renaudineau (Toulouse) Borner les nombres de Betti des hypersurfaces réelles proche de la limite tropicale.
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Résumé : Borner les nombres de Betti individuels des variétés algébriques réelles est en général une question difficile. Dans cet exposé, j'expliquerai comment obtenir des bornes, conjecturées par Itenberg, dans le cas des hypersurfaces projectives proches de la limite tropicale (non-singulière). On utilisera pour cela notamment une version réelle de l'homologie tropicale. C'est un travail en commun (et toujours en cours) avec Kristin Shaw.
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Pause (thé-café)
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15h30-16h30 Yimu Yin (Santa Monica) : Motivic
integration and the nonarchimedean Milnor fiber
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Résumé : Extending the work of Hrushovski and Loeser, I will
describe how an object called the nonarchimedean Milnor fiber embodies a
broader concept of Milnor fiber. It may be considered as an
infinitesimal limit of the usual topological Milnor fiber and gives
rise to the motivic Milnor fiber by way of the Hrushovski-Kazhdan
integral. The uniform narrative affords new insights into how the
various invariants and constructions associated with Milnor fiber,
both real and complex, are related. This is joint work with Goulwen
Fichou.
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ARCHIVES
- Vendredi 2 mars 2018 à Rennes
- En salle 16
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9h30 Accueil (thé-café)
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10h30-11h30 Tom Bachmann (Essen) Motivic stable homotopy
theory and real algebraic geometry
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Résumé : Motivic homotopy theory was invented by
Morel-Voevodsky as a way of applying homotopy theoretical
methods to the study of algebraic varieties. Given some scheme
S, the motivic stable homotopy category SH(S) is built out of
the smooth varieties over S, with the affine line A^1_S
replacing the usual topological interval, and the projective
line P^1_S replacing the usual topological (2-) sphere. It turns
out that this category has a close connection to the real
algebraic geometry of S. For example, there is a certain full
subcategory (localization) of SH(S) that is equivalent to the
derived category of sheaves of Q-vector spaces on the
topological space R(S), where R is the topological space of
points of S together with an ordering of the residue field. In
this talk I will explain this and related results.
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14h-15h Penka Vasileva Georgieva (Paris) Real curves and
a Klein TQFT
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Résumé : The local Gromov-Witten theory of curves studied by
Bryan and Pandharipande revealed strong structural results for
the local GW invariants, which were later used by Ionel and
Parker in the proof of the Gopakumar-Vafa conjecture. In this
talk I will report on a joint work in progress with Eleny Ionel
on the extension of these results to the real setting.
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Pause (thé-café)
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15h30-16h30 Krzysztof Kurdyka (Savoie) Curve-rational
functions
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Le résumé est ici.
- Jeudi 11 mai 2017 - En salle 16
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11h-12h Nicolas Dutertre (Marseille) Courbures de
Lipschitz-Killing et images polaires.
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Résumé : On relie les courbures de Lipschitz-Killing d'un
ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires
génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels
résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J.
Math, 1982). On donne ensuite des versions infinitésimales de
ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les
invariants polaires de Comte et Merle et les densités des
images polaires génériques.
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14h-15h Johannes Huisman (Brest) Cohomologie bigraduée
de variétés algébriques réelles
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Résumé : TBA.
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15h30-16h30 Andrés Jaramillo Puentes, (IMJ-PRG, Paris)
Classification à isotopie rigide des courbes rationnelles
réelles planes de degré 5.
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Résumé : Le but de l'exposé est d'exprimer la classification
à isotopie rigide près des courbes rationnelles réelles de
degré 5 en fonction des invariants topologiques des courbes et
ainsi que des restrictions algebro-géometriques données par le
théorème de Bézout et la formule d'orientation complexe de
Rokhlin. La première partie de l'exposé sera dédiée à
présenter les dessins associées aux courbes, un outil
combinatoire qui permet de classifier les classes d'isotopie
rigide. La seconde partie de l'exposé sera dédiée à
détailler un exemple intéressant de courbes non rigidement
isotopes ayant la même classe d'isotopie.
- Jeudi 10 novembre 2016
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14h-15h (salle 016) Olivier Benoist (Strasbourg) Sur le
17ème problème de Hilbert en petit degré.
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Résumé : Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en
démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels
qui est positif est une somme de carrés de fractions
rationnelles, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. En
3 variables ou plus, c'est une question ouverte de décider si
la borne de Pfister est optimale. Dans cet exposé, on montrera
que celle-ci peut être améliorée pour des polynômes de petit
degré (au plus 2n-2, et parfois 2n).
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15h30-16h30 (salle 016) Susanna Zimmermann (Bale) The
Cremona group of the real plane
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Résumé : The Cremona group of the real plane is the group of
birational self-maps of the plane defined over the real numbers.
I would like to discuss some properties of this large group,
such as algebraic subgroups and abelian quotients.
- Jeudi 12 mai 2016
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10h30-11h30 (salle 016) K. Becher Corps de déploiement
d'algèbres simples centrales d'exposant deux
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Résumé : Le Théorème de Merkurjev dit que toute algèbre
simple centrale d'exposant deux est Brauer-équivalente à un
produit tensoriel d'algèbres de quaternions. Par conséquent,
si sur un corps donné toute algèbre de quaternions est une
algèbre de matrices, alors le groupe de Brauer est sans
2-torsion. Récemment, j'ai obtenu une démonstration
élémentaire de ce dernier fait. Dans mon exposé, je tâcherai
de motiver le problème, d'expliquer son lien avec des questions
ouvertes et d'esquisser la démonstration.
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14h-15h (salle 016) J.-P. Monnier Ensembles
semi-algébriques et fonctions rationnelles continues.
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Résumé : On étudie les relations entre les fonctions
algébriquement constructibles sur une variété algébrique
réelle et les sommes de signes de fonctions rationnelles
continues sur cette variété. On s'intéresse aussi aux
ensembles semi-algébriques qui sont le lieu de positivité
stricte d'une fonction rationnelle continue.
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15h30-16h30 (salle 016) F. Bihan Une généralisation de
la règle de Descartes pour les systèmes polynomiaux dont le
support est un circuit.
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Résumé : La règle de Descartes borne le nombre de racines
positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de
changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la
base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes).
La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de
Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est
un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia
Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu une
généralisation partielle de la règle de Descartes en
plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes
polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le
support consiste en n+2 monômes quelconques. Comme pour la
règle de Descartes usuelle, notre borne est optimale et
s'exprime comme un nombre de changement de signes d'une suite de
nombres obtenus en considérant les mineurs maximaux de la
matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du
système.
- Jeudi 12 novembre 2015
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10h Accueil
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10h30-11h30 (salle 016) S. Moussa (Maradi; Niger)
Rationalité de l'ensemble des configurations singulières d'une
plateforme de Stewart et droites sur une surface cubique.
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Résumé : Dans cet exposé, je présenterai la plateforme de
Stewart (un robot à 6 degrés de liberté). Les roboticiens
s'intéressent aux configurations singulières de cette
plateforme pour les éviter car on y perd le contrôle d'un
degré de liberté. On cherche une paramétrisation rationnelle
de l'ensemble des configurations singulières. Ceci conduit au
problème de la rationalité d'une surface cubique définie sur
le corps de fonctions du groupe des rotations et à l'étude des
droites sur cette surface cubique en lien avec leur
caractérisation cinématique.
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12h Repas en commun
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14h10-15h10 (salle 006) G. Comte (Chambéry) Points
rationnels de hauteur bornée sur des courbes oscillantes.
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J'expliquerai comment, dans un travail en commun avec C. Miller,
nous montrons que le nombre de points rationnels de hauteur
bornée par T et contenus dans certaines courbes réelles
transcendantes, éventuellement non o-minimales, est faible.
Nous montrons sous certaines hypothèses que ce nombre est
majoré par C log^a(T), où C,a sont des réels. Ce type de
résultat étend à des courbes oscillantes les résultats de
Pila & Wilkie en o-minimal et Pila, Jones, Thomas en
pfaffien.
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15h11 Pause thé/café
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15h30-16h30 (salle 006) Arthur Renaudineau (Genève)
Patchwork de Viro et géométrie tropicale
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Après avoir rappelé la méthode du patchwork de Viro et ses
applications en topologie des variétés algébriques réelles,
on présentera une construction de courbes algébriques réelles
utilisant une version tropicale du patchwork.
- Jeudi 7 mai 2015
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10h30-11h30 (salle 16) M. Benzerga (Angers) Structures
réelles sur les éclatés de P^2
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Résumé : Une structure réelle sur une variété projective
complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété.
La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une
variété réelle X_0 dont la complexification est isomorphe à
X (on dit alors que X_0 est une forme réelle de X). Le but de
cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes
d'automorphismes des éclatés de P^2 peut être utilisée en
vue de donner des éléments de réponse à la question de la
finitude du nombre de classes d'équivalence de structures
réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs
formes réelles à isomorphisme près.
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14h-15h (salle 4) C. Raffalli (Chambéry) Distance to the
discriminant
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We will study algebraic hyper-surfaces on the real unit sphere S
of dimension n-1 (given by an homogeneous polynomial of degree d
in n variables) with the view point rarely exploited of
Euclidian geometry using Bombieri's scalar product and norm. We
will first show some remarkable properties of this scalar
product, for instance a combinatoric formula for the scalar
product of two products of linear-forms which allow to give a
(new ?) proof of the invariance of Bombieri's norm by
composition with the orthogonal group. These properties yield a
simple formula for the distance of an algebraic hyper-surface to
the "real discriminant" (the set of hyper-surfaces
with a real singularity on the sphere). This property can be
further simplified when the hyper-surface has extremal Betti
numbers. In this case we have dist(P, Delta) = min_{x critical
point of P on S} |P(x)| We will show that extremal
hyper-surfaces that maximize the distance to the discriminant
are very remarkable objects. We will illustrate the talk showing
all extremal sextics curves far from the discriminant and
obtained by numerical optimisation. We will also give result for
homogeneous polynomials in two variables on the unit circle and
for positive polynomials on the sphere S_n.
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15h30-16h30 (salle 4) A. Lerario (Lyon) Distance, volumes
and average aspects of real algebraic geometry
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Eckart-Young theorem states that the distance (in the Frobenius
norm) between a matrix and the set of singular matrices
coincides with the least singular value of the given matrix.
This theorem has numerous applications, for instance it can be
used to compute the volume of the set of singular matrices of
Frobenius norm one (this type of computations is extremely
important in the emerging field of "random" algebraic
geometry). In this talk (which is much related C. Raffalli's
one) I will present some geometric generalizations of this
result, to the case of symmetric and skew-symmetric matrices of
given corank and eventually to the case of Schubert varieties in
the real Grassmannian. This last theme is particularly
fascinating, as it brings directly to the possibility of
performing computations in real enumerative geometry "on
average".
- Jeudi 15 janvier 2015
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10h30-11h30 E. Brugallé (Paris) Courbes de Harnack
pseudoholomorphes
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Je donnerai une preuve alternative et élémentaire du théorème
de Mikhalkin sur l'unicité des types topologiques des courbes
de Harnacks (dont je rappelerai la définition). Cette preuve
permet en particulier d'étendre ce résultat aux courbes
pseudoholomorphes réelles.
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14h-15h B. Bertrand (Tarbes) Courbure totale des
hypersurfaces et courbes tropicales réelles. (En commun avec L.
López de Medrano and J.-J. Risler)
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Pour une hypersurface algébrique réelle $X$ il y a une
inégalité entre les courbures totales de sa partie réelle $R
X$ et de sa partie complexe $C X$. Nous avons étudié
l'inégalité correspondante pour les amibes (images
logarithmiques) et prouvé que c'est une égalité à la limite
tropicale i.e. pour les hypersurfaces tropicales réelles
non-singulières. Après le cas de codimension $1$ je décrirai
ce que nous savons sur celui de dimension $1$.
- Jeudi 12 juin 2014 (séance reportée)
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10h30-11h30 M. Matusinski (Bordeaux) Sur l'algébricité
des séries de Puiseux
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14h-15h G. Rond (Marseille) Algbricité d'un germe de
fonction analytique
- Jeudi 24 avril 2014
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10h30-11h30 S. Cantat (Rennes) Dynamique et surfaces
réelles
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14h-15h F. Mangolte (Angers) Faux plans réels : modèles
algébriques rationnels de R^2
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On étudie les modèles algébriques réels du plan affine
euclidien $R^2$ à difféomorphismes birationnels près. Cette
question est liée à une version forte du problème de
$R$-rationnalité. Le cas compact, c'est-à-dire la
classification des modèles algébriques rationnels de $P^2(R)$
est connu : $P^2_R(R)$ est le seul modèle. Un faux plan réel
est une surface géométriquement intègre lisse $S$ définie
sur $R$ telle que :
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1. L'ensemble de ses points réels $S(R)$ est difféomorphe à
$R^2$ ;
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2. la surface $S(R)$ n'est pas équivalente à $A^2_R(R)$ par un
difféomorphisme birationnel ;
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3. la surface complexifiée $S_C$ est $Q$-acyclique (ceci pour
éviter les exemples triviaux pour lesquels $S_C$ soit très
éloigné de $A^2_C$).
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15h15-16h15 R. Crétois (Genève) Comment compter les
courbes rationnelles réelles dans les 4-variétés
symplectiques simplement connexes de première classe de Chern
nulle ?
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Il y a quelques années, Welschinger a découvert une façon de
compter les courbes pseudo-holomorphes rationnelles réelles
dans des variétés symplectiques réelles de dimension 4 et 6
produisant des comptes invariants par déformation de la
structure symplectique. Sa méthode ne fonctionne toutefois pas
pour toute les variétés symplectiques de dimension 4 : le
premier cas ouvert est celui où la première classe de Chern de
la variété est nulle. Dans cet exposé, j'expliquerai où se
trouve le problème, et comment y remédier afin de généraliser
les invariants de Welschinger lorsque la première classe de
Chern s'annule. Je ferai aussi le lien avec des travaux récents
de Kharlamov et Rasdeaconu sur les courbes rationnelles réelles
sur les surfaces K3 réelles. Je présenterai enfin les
perspectives concernant ce travail.
- Jeudi 23 mai 2013
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14h-15h J. -P. Monnier (Angers) Systèmes linéaires très
spéciaux sur les courbes algébriques réelles.
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Pour une courbe algébrique réelle donnée, on étudie les
systèmes linéaires spéciaux appelés "très spéciaux",
la dimension de ces systèmes linéaires ne satisfait pas une
inégalité de type "Clifford". On détermine ces
systèmes linéaires très spéciaux lorsque la partie réelle
de la courbe a peu de composantes connexes et aussi lorsque la
gonalité de la courbe est petite.
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15h30-16h30 C. Scheiderer (Konstanz) Sums of squares of
polynomials with rational coefficients
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We construct an explict polynomial with rational coefficients
which is a sum of squares of polynomials with real coefficients,
but not of polynomials with rational coefficients. Whether or
not such examples exist had been an open question originally
raised by Sturmfels.
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