Séminaire de Géométrie Algébrique Réelle Angers-Brest-Rennes


Séminaire de Géométrie Algébrique Réelle

Angers-Brest-Rennes

jeudi au rdc de l'IRMAR à Rennes
Contact: Goulwen Fichou


Jeudi 11 mai 2017 - En salle 16

11h-12h Nicolas Dutertre (Marseille) Courbures de Lipschitz-Killing et images polaires.

Résumé : On relie les courbures de Lipschitz-Killing d'un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982). On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.

14h-15h Johannes Huisman (Brest) Cohomologie bigraduée de variétés algébriques réelles

Résumé : TBA.

15h30-16h30 Andrés Jaramillo Puentes, (IMJ-PRG, Paris) Classification à isotopie rigide des courbes rationnelles réelles planes de degré 5.

Résumé : Le but de l'exposé est d'exprimer la classification à isotopie rigide près des courbes rationnelles réelles de degré 5 en fonction des invariants topologiques des courbes et ainsi que des restrictions algebro-géometriques données par le théorème de Bézout et la formule d'orientation complexe de Rokhlin. La première partie de l'exposé sera dédiée à présenter les dessins associées aux courbes, un outil combinatoire qui permet de classifier les classes d'isotopie rigide. La seconde partie de l'exposé sera dédiée à détailler un exemple intéressant de courbes non rigidement isotopes ayant la même classe d'isotopie.


Jeudi 10 novembre 2016

14h-15h (salle 016) Olivier Benoist (Strasbourg) Sur le 17ème problème de Hilbert en petit degré.

Résumé : Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est une somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. En 3 variables ou plus, c'est une question ouverte de décider si la borne de Pfister est optimale. Dans cet exposé, on montrera que celle-ci peut être améliorée pour des polynômes de petit degré (au plus 2n-2, et parfois 2n).

15h30-16h30 (salle 016) Susanna Zimmermann (Bale) The Cremona group of the real plane

Résumé : The Cremona group of the real plane is the group of birational self-maps of the plane defined over the real numbers. I would like to discuss some properties of this large group, such as algebraic subgroups and abelian quotients.


Jeudi 12 mai 2016

10h30-11h30 (salle 016) K. Becher Corps de déploiement d'algèbres simples centrales d'exposant deux

Résumé : Le Théorème de Merkurjev dit que toute algèbre simple centrale d'exposant deux est Brauer-équivalente à un produit tensoriel d'algèbres de quaternions. Par conséquent, si sur un corps donné toute algèbre de quaternions est une algèbre de matrices, alors le groupe de Brauer est sans 2-torsion. Récemment, j'ai obtenu une démonstration élémentaire de ce dernier fait. Dans mon exposé, je tâcherai de motiver le problème, d'expliquer son lien avec des questions ouvertes et d'esquisser la démonstration.

14h-15h (salle 016) J.-P. Monnier Ensembles semi-algébriques et fonctions rationnelles continues.

Résumé : On étudie les relations entre les fonctions algébriquement constructibles sur une variété algébrique réelle et les sommes de signes de fonctions rationnelles continues sur cette variété. On s'intéresse aussi aux ensembles semi-algébriques qui sont le lieu de positivité stricte d'une fonction rationnelle continue.

15h30-16h30 (salle 016) F. Bihan Une généralisation de la règle de Descartes pour les systèmes polynomiaux dont le support est un circuit.

Résumé : La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu une généralisation partielle de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques. Comme pour la règle de Descartes usuelle, notre borne est optimale et s'exprime comme un nombre de changement de signes d'une suite de nombres obtenus en considérant les mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.


Jeudi 12 novembre 2015

10h Accueil

10h30-11h30 (salle 016) S. Moussa (Maradi; Niger) Rationalité de l'ensemble des configurations singulières d'une plateforme de Stewart et droites sur une surface cubique.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai la plateforme de Stewart (un robot à 6 degrés de liberté). Les roboticiens s'intéressent aux configurations singulières de cette plateforme pour les éviter car on y perd le contrôle d'un degré de liberté. On cherche une paramétrisation rationnelle de l'ensemble des configurations singulières. Ceci conduit au problème de la rationalité d'une surface cubique définie sur le corps de fonctions du groupe des rotations et à l'étude des droites sur cette surface cubique en lien avec leur caractérisation cinématique.

12h Repas en commun

14h10-15h10 (salle 006) G. Comte (Chambéry) Points rationnels de hauteur bornée sur des courbes oscillantes.

J'expliquerai comment, dans un travail en commun avec C. Miller, nous montrons que le nombre de points rationnels de hauteur bornée par T et contenus dans certaines courbes réelles transcendantes, éventuellement non o-minimales, est faible. Nous montrons sous certaines hypothèses que ce nombre est majoré par C log^a(T), où C,a sont des réels. Ce type de résultat étend à des courbes oscillantes les résultats de Pila & Wilkie en o-minimal et Pila, Jones, Thomas en pfaffien.

15h11 Pause thé/café

15h30-16h30 (salle 006) Arthur Renaudineau (Genève) Patchwork de Viro et géométrie tropicale

Après avoir rappelé la méthode du patchwork de Viro et ses applications en topologie des variétés algébriques réelles, on présentera une construction de courbes algébriques réelles utilisant une version tropicale du patchwork.




ARCHIVES




Jeudi 7 mai 2015

10h30-11h30 (salle 16) M. Benzerga (Angers) Structures réelles sur les éclatés de P^2

Résumé : Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une variété réelle X_0 dont la complexification est isomorphe à X (on dit alors que X_0 est une forme réelle de X). Le but de cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes d'automorphismes des éclatés de P^2 peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près.

14h-15h (salle 4) C. Raffalli (Chambéry) Distance to the discriminant

We will study algebraic hyper-surfaces on the real unit sphere S of dimension n-1 (given by an homogeneous polynomial of degree d in n variables) with the view point rarely exploited of Euclidian geometry using Bombieri's scalar product and norm. We will first show some remarkable properties of this scalar product, for instance a combinatoric formula for the scalar product of two products of linear-forms which allow to give a (new ?) proof of the invariance of Bombieri's norm by composition with the orthogonal group. These properties yield a simple formula for the distance of an algebraic hyper-surface to the "real discriminant" (the set of hyper-surfaces with a real singularity on the sphere). This property can be further simplified when the hyper-surface has extremal Betti numbers. In this case we have dist(P, Delta) = min_{x critical point of P on S} |P(x)| We will show that extremal hyper-surfaces that maximize the distance to the discriminant are very remarkable objects. We will illustrate the talk showing all extremal sextics curves far from the discriminant and obtained by numerical optimisation. We will also give result for homogeneous polynomials in two variables on the unit circle and for positive polynomials on the sphere S_n.

15h30-16h30 (salle 4) A. Lerario (Lyon) Distance, volumes and average aspects of real algebraic geometry

Eckart-Young theorem states that the distance (in the Frobenius norm) between a matrix and the set of singular matrices coincides with the least singular value of the given matrix. This theorem has numerous applications, for instance it can be used to compute the volume of the set of singular matrices of Frobenius norm one (this type of computations is extremely important in the emerging field of "random" algebraic geometry). In this talk (which is much related C. Raffalli's one) I will present some geometric generalizations of this result, to the case of symmetric and skew-symmetric matrices of given corank and eventually to the case of Schubert varieties in the real Grassmannian. This last theme is particularly fascinating, as it brings directly to the possibility of performing computations in real enumerative geometry "on average".


Jeudi 15 janvier 2015
10h30-11h30 E. Brugallé (Paris) Courbes de Harnack pseudoholomorphes
Je donnerai une preuve alternative et élémentaire du théorème de Mikhalkin sur l'unicité des types topologiques des courbes de Harnacks (dont je rappelerai la définition). Cette preuve permet en particulier d'étendre ce résultat aux courbes pseudoholomorphes réelles.

14h-15h B. Bertrand (Tarbes) Courbure totale des hypersurfaces et courbes tropicales réelles. (En commun avec L. López de Medrano and J.-J. Risler)
Pour une hypersurface algébrique réelle $X$ il y a une inégalité entre les courbures totales de sa partie réelle $R X$ et de sa partie complexe $C X$. Nous avons étudié l'inégalité correspondante pour les amibes (images logarithmiques) et prouvé que c'est une égalité à la limite tropicale i.e. pour les hypersurfaces tropicales réelles non-singulières. Après le cas de codimension $1$ je décrirai ce que nous savons sur celui de dimension $1$.


Jeudi 12 juin 2014
(séance reportée)
10h30-11h30 M. Matusinski (Bordeaux) Sur l'algébricité des séries de Puiseux

14h-15h G. Rond (Marseille) Algbricité d'un germe de fonction analytique


Jeudi 24 avril 2014
10h30-11h30 S. Cantat (Rennes) Dynamique et surfaces réelles

14h-15h F. Mangolte (Angers) Faux plans réels : modèles algébriques rationnels de R^2
On étudie les modèles algébriques réels du plan affine euclidien $R^2$ à difféomorphismes birationnels près. Cette question est liée à une version forte du problème de $R$-rationnalité. Le cas compact, c'est-à-dire la classification des modèles algébriques rationnels de $P^2(R)$ est connu : $P^2_R(R)$ est le seul modèle. Un faux plan réel est une surface géométriquement intègre lisse $S$ définie sur $R$ telle que :
1. L'ensemble de ses points réels $S(R)$ est difféomorphe à $R^2$ ;
2. la surface $S(R)$ n'est pas équivalente à $A^2_R(R)$ par un difféomorphisme birationnel ;
3. la surface complexifiée $S_C$ est $Q$-acyclique (ceci pour éviter les exemples triviaux pour lesquels $S_C$ soit très éloigné de $A^2_C$).

15h15-16h15 R. Crétois (Genève) Comment compter les courbes rationnelles réelles dans les 4-variétés symplectiques simplement connexes de première classe de Chern nulle ?
Il y a quelques années, Welschinger a découvert une façon de compter les courbes pseudo-holomorphes rationnelles réelles dans des variétés symplectiques réelles de dimension 4 et 6 produisant des comptes invariants par déformation de la structure symplectique. Sa méthode ne fonctionne toutefois pas pour toute les variétés symplectiques de dimension 4 : le premier cas ouvert est celui où la première classe de Chern de la variété est nulle. Dans cet exposé, j'expliquerai où se trouve le problème, et comment y remédier afin de généraliser les invariants de Welschinger lorsque la première classe de Chern s'annule. Je ferai aussi le lien avec des travaux récents de Kharlamov et Rasdeaconu sur les courbes rationnelles réelles sur les surfaces K3 réelles. Je présenterai enfin les perspectives concernant ce travail.


Jeudi 23 mai 2013
14h-15h J. -P. Monnier (Angers) Systèmes linéaires très spéciaux sur les courbes algébriques réelles.
Pour une courbe algébrique réelle donnée, on étudie les systèmes linéaires spéciaux appelés "très spéciaux", la dimension de ces systèmes linéaires ne satisfait pas une inégalité de type "Clifford". On détermine ces systèmes linéaires très spéciaux lorsque la partie réelle de la courbe a peu de composantes connexes et aussi lorsque la gonalité de la courbe est petite.

15h30-16h30 C. Scheiderer (Konstanz) Sums of squares of polynomials with rational coefficients
We construct an explict polynomial with rational coefficients which is a sum of squares of polynomials with real coefficients, but not of polynomials with rational coefficients. Whether or not such examples exist had been an open question originally raised by Sturmfels.