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Sur les singularités cuspidales.



On appelle singularité cuspidale tout germe de feuilletage singulier défini par un champ de vecteurs à singularité isolée à l'origine du plan complexe, dont la partie linéaire est nilpotente et la partie quadratique générique. Dans ce cas, il possède une unique courbe analytique invariante à l'origine qui se redresse sur le cusp par changement de coordonnées locales. Par exemple, le feuilletage singulier défini par le champ d'intégrale première est cuspidal ainsi que toute perturbation cubique de celui-ci.

Théorème (1999) : Toute singularité cuspidale se ramène, après changement formel de coordonnées, sous une écriture unique de la forme :

ou encore

, , et .


En particulier, l'espace des modules est énorme (de dimension infinie). On peut facilement déduire, à l'aide du Théorème de Baire, l'existence de singularités (cuspidales) qui ne sont polynomiale dans aucun système de coordonnées locales. L'existence de telles singularités non algébrique n'était pas établie jusqu'à ce jour, à ma connaissance. Du coup, le résultat antérieur ci-dessous montre que la topologie des singularités cuspidales est très variée.

Théorème (1995) : Toute singularité cuspidale est rigide : si un germe d'homéomorphisme envoit les feuilles de sur celles d'une autre singularité de feuilletage holomorphe alors ces deux singularités se correspondent aussi par un changement de coordonnées holomorphe ou anti-holomorphe.


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Mise à jour : décembre 2003