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Méthodes numériques |
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Informations
sur le déroulement |
Documents à télécharger à partir de votre ENT : La formation > Mes cours en ligne |
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Objectifs |
Acquérir les compétences nécessaires pour
résoudre numériquement des systèmes linéaires
ou non linéaires, des problèmes d’équations
différentielles ordinaires, calculer numériquement
des intégrales, représenter des fonctions.
Apprendre à utiliser ses compétences mathématiques
pour résoudre des problèmes concrets.
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Public
visé |
Tout étudiant de Master 1 s'intéressant aux applications
des mathématiques et aux méthodes numériques
avec en particulier :
-
les étudiants s'orientant vers les
spécialités professionnelles du Master (Mathématiques
de la Modélisation et Calcul Scientifique; Statistique
- Économétrie; Mathématiques de l'Information
- cryptographie),
-
les étudiants souhaitant présenter
l'épreuve de modélisation au concours de l'Agrégation.
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Programme
(24h de cours, 36h de TD/TP) |
- Recherche des zéros (dichotomie, Newton).
- Calculs d’intégrales (interpolation, méthodes
de Gauss, méthodes de Monte-Carlo)
- Quelques algorithmes sur les matrices (factorisations, conditionnement)
- Équations différentielles (théorie et numérique)
- Approximation de fonctions (interpolation, splines,...)
- Extrapolation à la limite (Richardson, accélération
de la convergence).
- Introduction à la méthode des différences
finies (Dimensions 1 et 2).
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Illustrations |
Pourquoi le résultat donné par
l'ordinateur n'est-il pas toujours juste ? Cela vient souvent d'une
erreur de programmation mais pas toujours :
z = 1 pour n entre
0 et 15, mais z = 0
pour n > 15.
-
Effet du cumul des erreurs d'arrondis sur
les résultats de l'intégration numérique
de exp(x) entre 1 et 3
par la méthode des rectangles. Soit n
le nombre de subdivisions, l'erreur de la méthode se
comporte comme 1/n, c'est-à-dire qu'elle
tend vers 0 linéairement quand n
tend vers l'infini. Hors, numériquement on obtient cette
convergence jusqu'à ce que le cumul des erreurs d'arrondis
dépasse l'erreur de la méthode. C'est ce que l'on
voit sur les graphiques superposés suivants pour une
arithmétique à 7 chiffres significatifs (simple
précision) et 15 chiffres significatifs (double précision)
:

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Bibliographie |
Analyse numérique
- Approximation, intégration et équations différentielles
: Analyse numérique des équations différentielles,
M. Crouzeix, A.L. Mignot, Masson, Paris, 1989.
- Méthodes numériques pour le calcul scientifique,
A. Quarteroni, Collection IRIS, Springer, 2000.
Matlab
- Analyse numérique avec Matlab, Jean-Louis Merrien,
Dunod, Paris, 2007.
- Introduction à l'analyse numérique - Applications
sous Matlab, J. Bastien et J.-N. Martin, Dunod, Paris 2003.
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Dernière mise
à jour :
19/6/16
par Fabrice Mahé |