Journée GAE, 18 septembre 2015

Xavier Caruso : Factorisation par les pentes des polynômes de Ore


Il est bien connu que les polynômes classiques jouent un rôle important en algèbre linéaire (e.g. polynômes d'endomorphismes, polynôme caractéristique) et, notamment, que leurs propriétés de factorisation permettent de diagonaliser ou de trigonaliser (éventuellement par blocs) les applications linéaires. En algèbre semi-linéaire et en théorie des équations différentielles linéaires, une telle philosophie demeure à condition de remplacer les polynômes usuels par une variante non commutative de ceux-ci que l'on appelle les polynômes de Ore. En particulier, la factorisation des polynômes de Ore entretient des liens étroits avec la décomposition des opérateurs semi-linéaires et différentiels. Dans cet exposé, après avoir rappelé les définitions nécessaires, je présenterai un théorème de factorisation — par les pentes — des polynômes de Ore sur les corps ultramétriques complets (e.g. k((x)) ou Q_p), et donnerai un algorithme itératif très simple permettant de calculer cette factorisation. En guise de conclusion, je discuterai des applications de ce théorème à l'étude des représentations galoisiennes p-adiques et à celle des équations différentielles p-adiques.