Journée GAE, 18 septembre 2015
Xavier Caruso : Factorisation par les
pentes des polynômes
de Ore
Il est bien connu que les polynômes classiques jouent un rôle
important en algèbre linéaire (e.g. polynômes d'endomorphismes,
polynôme caractéristique) et, notamment, que leurs propriétés de
factorisation permettent de diagonaliser ou de trigonaliser
(éventuellement par blocs) les applications linéaires.
En algèbre semi-linéaire et en théorie des équations différentielles
linéaires, une telle philosophie demeure à condition de remplacer les
polynômes usuels par une variante non commutative de ceux-ci que l'on
appelle les polynômes de Ore. En particulier, la factorisation
des polynômes de Ore entretient des liens étroits avec la décomposition
des opérateurs semi-linéaires et différentiels.
Dans cet exposé, après avoir rappelé les définitions nécessaires, je
présenterai un théorème de factorisation — par les
pentes — des
polynômes de Ore sur les corps ultramétriques complets (e.g.
k((x)) ou Qp), et donnerai un algorithme
itératif très simple permettant de calculer cette factorisation.
En guise de conclusion, je discuterai des applications de ce théorème
à l'étude des représentations galoisiennes p-adiques et à celle
des équations différentielles p-adiques.