Christophe Mourougane


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Master 2 Déformations des variétés complexes Deformations of complex manifolds


Le but de ce cours est de définir et d'étudier les espaces de paramètres de déformations universelles de variétés complexes compactes.
Il sera l'occasion
de donner un large éventail d'exemples de variétés complexes,
d'introduire pour les utiliser les notions de faisceaux et de leur cohomologie qui permettent de globaliser des objets définis localement,
de définir des notions de géométrie hermitienne qui permettent de passer de la géométrie formelle à la géométrie analytique,
et si le temps le permet d'expliquer sur des exemples des phénomènes de dégénérescence.
The aim is to define and study the parameter space of universal deformations of a given compact complex manifold.
Along the way, we will
give a large spectrum of examples of complex manifolds,
define and use the notions of sheaves and their cohomology that enable to go from local constructions to global ones,
define basic notions of Hermitian geometry that help going from formal to analytic geometry,
and, if times permits, display on examples, degeneration phenomenons.

Références

Main references for the Analytic view point
"Complex manifolds and deformation of complex structures" Kunihiko Kodaira
"Complex manifolds" James Morrow and Kunihiko Kodaira
"Advances in moduli theory" Yuji Shimizu et Kenji Ueno

Main reference for the Algebraic viewpoint
"An introduction to Invariants and Moduli" Shigeru Mukai

Other references
"Deformation theory" Robin HARTSHORNE
"Deformation theory" Edoardo Sernesi
"An Introduction to Families, Deformations and Moduli" Venkata Balaji
"Deformations of compact complex manifolds" Masatake Kuranishi, Les presses de l'université de Montréal
Un texte de Sébastien Boucksom sur la géométrie des variétés.
Un texte de Thomas Dedieu
Un texte de Christian Schnell



Lecture notes (written by Titouan)

Chapter I: Families of complex manifolds
Chapter II: Sheaves and cohomology
Chapter III: Infinitesimal deformations
Chapter IV: Small deformations


Topics for small talks
Exam with answers


Premier cours : Variétés analytiques complexes : définitions et exemples, Opérations : quotient et chirurgie
Deuxième cours : Familles analytiques de variétés complexes compactes : définition et trivialité différentiable
Troisième cours : Déformations des surfaces de Hirzebruch : parité de la forme d'intersection, calcul de champs de vecteurs.
Quatrième cours : Introduction aux faisceaux. Cohomologie de Cech, suites exactes, faisceaux fins
Cinquième cours : Isomorphisme de Dolbeault, version explicite, Formes harmoniques, projecteurs et opérateurs de Green
Sixième cours : Déformation infinitésimale d'ordre 1, classe de Kodaira-Spencer, structures complexes proches
Septième cours : Déformations d'ordre supérieur, énoncé des théorèmes de rigidité et de complétude.
Huitième cours : Théorème de Kodaira-Nirenberg-Spencer, énoncé et démonstration.
Neuvième cours : prolongements.
Dixième cours : Espace de modules de courbes elliptiques.
Onzième cours : Stabilité et constructions par quotient
Douzième cours : Espaces de modules d'hypersurfaces