Journal de bord du cours de

Topologie des espaces métriques

(TOPM)

Séance du 05/09/2014 :

Séance du 11/09/2014 :
  • Notion d'adhérance, de fermé.
  • Notion d'intérieur, d'ouvert.

Séance du 12/09/2014 :
  • Notion de frontière d'un ensemble, de voisinage d'un point.
  • Topologie associée à un espace métrique.
  • Comparaison des distances (et des topologies correspondantes).
  • Notion de métrique induite et de fonction Lipschitzienne.

Séance du 19/09/2014 :
  • Notion de suite convergente (dans un espace métrique).
  • Bolzano-Weierstrass.
  • Espaces produits. Convergence simple et uniforme.
  • Notion d'application continue.

Séance du 26/09/2014 :
  • Continuité : diverses caractérisations.
  • Notion d'homéomorphisme.

Séance du 03/10/2014 :
  • Connexité : définition, propriétés et exemples.
  • Connexité par arc.
  • Notion de compacité.

Séance du 10/10/2014 :
  • Borel-Lebesgue ;
  • Bolzano-Weierstrass ; compact implique séparable.
  • Propriétés des compacts. Cas de la droite réelle.
  • Union, intersection et produit de compacts ;
  • Fonctions continues et compacts.

Séance du 17/10/2014 :
  • Compacité et conséquences dans les espaces vectoriels normés.
  • Cas de la dimension finie ;
  • Cas de la dimension infinie :
    - Théorème de Riesz ;
    - Supplémentaires topologiques ;
    - Formes linéaires continues.

Séance du 07/11/2014 :
  • Suites de Cauchy ; Espaces métriques complets ; exemples ;
  • Suites de Cauchy ; Exemples : cas de R, des espaces de fonctions bornées ;
  • Propriétés des espaces complets (union, intersection, produits) ;
  • Espaces de Banach.

Séance du 14/11/2014 :
  • Espaces de Banach (suite) ;
  • Applications de la complétude aux séries ;
  • Prolongement de fonctions uniformément continues sur un sous-espace dense ;
  • Notion de complétion.

Séance du 21/11/2014 :
  • Point fixe des applications contractantes ;
  • Théorème de Cauchy-Lipschitz ;
  • Théorème de Stone-Weierstarss.

Séance du 28/11/2014 :
  • Théorème d'Ascoli ;
  • Un problème pour réviser.